Ondas eletromagnéticas são aquelas que resultam da libertação das fontes de energia elétrica e magnética em conjunto. Elas são formadas pelo campo elétrico e o magnético, se propagando no vácuo à velocidade da luz, cerca de 300 000 km/s. Por esse motivo, recebe o nome de onda eletromagnética.
A velocidade de propagação das ondas eletromagnéticas depende do meio. Em meios que não o vácuo, estas ondas viajam a uma velocidade menor.
Tipos de Ondas Eletromagnéticas
São 7 os tipos de ondas eletromagnéticas: ondas de rádio, micro-ondas, infravermelho, luz visível, ultravioleta, raios x e raios gama.
O que determina a sua classificação é a frequência e a oscilação com que as ondas são emitidas e também o seu comprimento. Quanto mais alta a frequência, menor o comprimento de uma onda.
As ondas são medidas pelo espectro eletromagnético. Através das faixas desse mecanismo é possível verificar a distribuição da intensidade do eletromagnetismo.
| As ondas de rádio ficam na outra extremidade do espectro. São as mais baixas e, portanto, as mais compridas. |
| As frequências desse tipo de onda eletromagnética são bastante baixas. |
| Localizado ao lado da luz visível, a radiação infravermelha pode ser vista mediante a utilização de equipamentos, mas não a olho nu. |
| Localiza-se no centro do espectro eletromagnético. Tal como o nome indica, essa energia é visível a olho nu. |
| A energia ultravioleta localiza-se ao lado da luz visível, que é o centro do espectro eletromagnético. |
| Localizam-se logo a seguir aos raios gama na faixa do espectro eletromagnético. A radiação dos raios x são invisíveis a olho nu. |
| Os raios gama ficam numa das extremidades do espectro. É o tipo de onda que tem a frequência mais alta, logo, seu comprimento é minúsculo. |
Onde elas estão?
As ondas eletromagnéticas propagam-se no vácuo a todo momento. Isso porque tudo o que existe tem eletromagnetismo.
A energia elétrica surge da agitação dos átomos que estão na formação de todos os corpos. O magnetismo surge da movimentação dessa carga elétrica e, como resultado, surgem as ondas eletromagnéticas.
Inúmeras coisas que utilizamos no dia a dia funcionam através das ondas eletromagnéticas. São exemplos: o rádio, a televisão, o celular, o micro-ondas, o controle remoto, a internet sem fios, o bluetooth, etc.
E o que são Ondas Mecânicas?
Enquanto as ondas eletromagnéticas não precisam de um meio material para se propagar, as ondas mecânicas necessariamente precisam.
É o caso, por exemplo, do telefone com fios. O fio é o meio utilizado para que a onda mecânica percorra o seu caminho e transporte energia.
Os celulares, por outro lado, não têm fios. Fazem uso das ondas eletromagnéticas.
Continue sua pesquisa. Leia também sobre:
- Campo magnético
- Força Magnética
- Indução eletromagnética
- Efeito fotoelétrico
- Fórmulas de Física
Professor de Matemática licenciado e pós-graduado em Ensino da Matemática e Física (Fundamental II e Médio), com formação em Magistério (Fundamental I). Engenheiro Mecânico pela UERJ, produtor e revisor de conteúdos educacionais.
Eletromagnetismo - Parte II
Eduardo Fontana, PhD
Professor Titular
Departamento de Eletr�nica e Sistemas
Universidade Federal de Pernambuco
1a. Edi��o - Vers�o 1.0 - 05/05/2011
Vers�o atual - 1.4 - 10/05/2011
Recife, 2011
- Cap�tulo 8 - Reflex�o e Refra��o
- 8.1 Introdu��o
- 8.2 Reflex�o e refra��o em uma interface
simples entre meios sem perdas
- 8.2.1 Considera��es iniciais
- 8.2.2 Polariza��o paralela
- 8.2.3 Polariza��o perpendicular
- A. Express�es gerais em fun��o das imped�ncias e admit�ncias de onda
- B. Express�es restritas a meios n�o magn�ticos
- C. Express�es restritas ao caso de incid�ncia normal
- 8.3 Reflect�ncia e Transmit�ncia � Meios sem perdas
- 8.3.1 Conserva��o da pot�ncia eletromagn�tica
- 8.3.2 Reflect�ncia e Transmit�ncia
- 8.4 Reflex�o interna total e �ngulo de Brewster
- 8.4.1 Reflex�o interna total
- 8.4.2 �ngulo de Brewster
- 8.5 Reflex�o e refra��o em um meio absorvedor
- 8.6 Reflex�o para incid�ncia frontal em um meio condutor
- 8.6.1 Determina��o dos campos dentro e fora do condutor
- 8.6.2 Profundidade de penetra��o e resist�ncia de folha
- Problemas
Cap�tulo 8 - Reflex�o e Refra��o
8.1 Introdu��o
Quando uma onda eletromagn�tica, ao se propagar, encontra algum objeto com propriedades materiais distintas do meio de propaga��o, ondas secund�rias s�o produzidas. Estas decorrem do campo de rea��o dos dipolos magn�ticos e el�tricos constituintes do objeto ao campo incidente, o que culmina com ondas refletidas de volta para o meio de ondas transmitidas para o interior do objeto. Dependendo da forma geom�trica do obst�culo, de sua dimens�o relativamente ao comprimento de onda e da regi�o ocupada pelo feixe de radia��o incidente, bem como da composi��o e homogeneidade do objeto, pode ocorrer ou n�o espalhamento difuso, ou seja, reflex�o e transmiss�o ao longo de v�rias dire��es, conforme ilustrado na Fig.8.1. H� situa��es, no entanto, em que o obst�culo pode ser modelado como uma interface simples que se conforma de forma aproximada � superf�cie de fase da onda incidente. Quando isso ocorre, as frentes de onda das ondas refletida e transmitida assumem a mesma forma daquela da onda incidente. Para o caso de ondas planas, por exemplo, se o objeto for terminado em uma interface planar, as superf�cies de fase das ondas refletida e transmitida s�o tamb�m planos, como na onda incidente. Diz-se nesse caso que ocorre reflex�o e transmiss�o especular.
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Neste Cap�tulo, � desenvolvida a formula��o que permite a obten��o de par�metros representativos da reflex�o e transmiss�o de ondas eletromagn�ticas em uma interface simples. Modela-se, em uma primeira aproxima��o, a interface entre dois meios como sendo
Fig.8.1 � Intera��o de uma onda eletromagn�tica com um objeto e produ��o de ondas secund�rias. |
planar e assume-se que a onda incidente na interface seja uma onda plana. Esta � uma boa aproxima��o, mesmo para o caso de um feixe de radia��o eletromagn�tica de largura finita, incidente na interface. Isso porque, de forma an�loga � decomposi��o de fun��es em componentes de Fourier, um feixe de radia��o eletromagn�tica com dimens�o transversal finita, conforme ilustrado na Fig.8.2, pode ser decomposto como a superposi��o de ondas planas, infinitamente extensas. Analisando-se as propriedades de reflex�o e transmiss�o de cada onda plana e recompondo as por��es refletida e transmitida, pode-se reconstruir os feixes de radia��o eletromagn�tica refletido e transmitido.
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8.2 Reflex�o e refra��o em uma interface simples entre meios sem perdas
8.2.1 Considera��es iniciais
Considere-se a incid�ncia de uma onda plana em uma interface planar entre meios materiais de propriedades eletromagn�ticas distintas, conforme ilustrado na Fig.8.3. O vetor de onda de onda
Fig.8.2 Ilustra��o da intera��o de um feixe de radia��o eletromagn�tica com uma interface planar |
Fig.8.3 � Geometria para an�lise do problema de reflex�o de uma onda plana em uma interface simples. |
e
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� de se esperar que parte do campo incidente seja transmitido para o meio 2. � importante observar que em vista de os meios terem propriedades eletromagn�ticas distintas, apenas a adi��o de uma onda plana transmitida para o meio 2 n�o seria suficiente para satisfazer �s condi��es de contorno para os campos, para um �ngulo de incid�ncia arbitr�rio. Para satisfazer �s condi��es de contorno, faz-se necess�rio adicionar uma terceira componente ao problema, que corresponde � onda refletida no meio 1, representada na Fig.8.3.
Considere-se agora a situa��o delineada na Fig.8.3 com um pouco mais de detalhe. Nessa figura
est� desenhado um sistema com a interface localizada no plano z = 0. O vetor de onda do campo incidente tem apenas componentes nas dire��es x e z. O plano definido pelo vetor de onda da onda incidente e a dire��o normal
em que
e
Dado que
o que corresponde �s duas condi��es
Para que (8.7) e (8.8) sejam v�lidas em toda a interface, i.e.,
A equa��o (8.10) implica que os vetores de onda da onda refletida e da onda transmitida tamb�m est�o no plano de incid�ncia. A condi��o (8.9) implica na conserva��o da componente tangencial do vetor de onda. Essas s�o as condi��es de reflex�o e transmiss�o especular.
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A equa��o (8.9) tem implica��es adicionais. Da Fig.8.3
e dado que
que define a condi��o de reflex�o especular, i.e., para uma interface planar o �ngulo de reflex�o � igual ao �ngulo de incid�ncia. A segunda igualdade de (8.9) fornece a lei de Snell de refra��o
A equa��o (8.15) implica, em condi��es normais, que a onda transmitida para o meio 2 � defletida (refratada) em rela��o � dire��o da onda incidente. Se
Com as condi��es de reflex�o e refra��o especular, os vetores de onda ser�o redefinidos, de forma a simplificar a formula��o. Os �ngulos de incid�ncia e de refra��o ser�o redefinidos de acordo com
Al�m disso, a componente z de cada vetor de onda receber� como subscrito o �ndice do meio material correspondente. Assim,
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com
e
� importante observar que o �ngulo
Para obten��o das ondas refletida e transmitida, duas situa��es s�o consideradas:
� Polariza��o paralela: Nessa situa��o, os campos el�tricos das ondas incidente refletida e transmitida ficam localizados noplano de incid�ncia.
� Polariza��o perpendicular: Os campos el�tricos ficam orientados na dire��o perpendicular ao plano de incid�ncia.
A solu��o desses dois problemas permite obter a solu��o para a reflex�o e refra��o de um campo exibindo uma dire��o arbitr�ria por superposi��o, uma vez que esse vetor pode sempre ser decomposto em componentes ortogonais, uma localizada no plano de incid�ncia e outra, perpendicular a esse plano.
8.2.2 Polariza��o paralela
A geometria utilizada para an�lise da reflex�o de uma onda eletromagn�tica tendo o campo el�trico polarizado no plano de incid�ncia est� mostrada na Fig.8.4. Admitindo uma amplitude
Onda incidente:
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Fig.8.4 � Configura��o de campos para polariza��o paralela. |
O campo magn�tico pode ser calculado da express�o,
donde,
De forma semelhante, com base na Fig.8.4, obt�m-se
Onda refletida:
em que
Onda transmitida:
em que
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O objetivo nessa formula��o � determinar os par�metros
Note-se que os campos
Utilizando-se (8.24), (8.26) e (8.28) com
Procedimento semelhante aplicado para
A solu��o simult�nea de (8.36) e (8.37) fornece
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8.2.3 Polariza��o perpendicular
A geometria utilizada para a an�lise da reflex�o de uma onda eletromagn�tica com o campo el�trico polarizado perpendicularmente ao plano de incid�ncia est� mostrada na Fig.8.5. Adotando procedimento semelhante �quele adotado na se��o anterior, e com base na Fig.8.5 as ondas incidente, refletida e transmitida assumes as formas
Onda incidente:
Onda refletida:
Onda transmitida:
Fig.8.4 � Configura��o de campos para polariza��o perpendicular. |
Nas equa��es (8.42)-(8.45) introduziu-se os coeficientes de reflex�o e transmiss�o,
Utilizando (8.40), (8.42) e (8.44), em z = 0, na condi��o de contorno (8.32) fornece
De forma semelhante, utilizando (8.41), (8.43) e (8.45), em z = 0, na condi��o de contorno (8.33) fornece
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Resolvendo o sistema de equa��es (8.46) e (8.47) fornece
A Tabela 8.1 sumariza as express�es para os coeficientes de reflex�o e transmiss�o para os dois tipos de polariza��o tratadas no texto. Nas sub-se��es seguintes, algumas situa��es espec�ficas s�o analisadas
A. Express�es gerais em fun��o das imped�ncias e admit�ncias de onda
Para ondas p os coeficientes de reflex�o e transmiss�o podem ser expressos de forma conveniente em termos das imped�ncias de onda. Nos meios 1 e 2 as imped�ncias de onda s�o dadas por
Utilizando a rela��o
com i = 1, 2 em (8.38) fornece
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Dividindo numerador e denominador dessa express�o pelo produto
A equa��o (8.52) tem uma interpreta��o simples. A imped�ncia de onda paralela
Para ondas p
e (8.53) fornece
Utilizando (8.54) em (8.52) fornece
ou seja, para ondas p o coeficiente de reflex�o � a diferen�a entre imped�ncias paralelas sobre a soma. Essa express�o implica que pode-se transmitir toda a onda para o meio 2 na condi��o de casamento de imped�ncias
Para expressar o coeficiente de transmiss�o em termos das imped�ncias, utiliza-se (8.50) e (8.51) em (8.39), o que fornece
ou equivalentemente, utilizando o conceito de imped�ncia paralela definida em (8.54),
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Para ondas s emprega-se (8.50) e (8.51) em (8.48) e (8.49), o que fornece
em que a admit�ncia de onda � definida por
Pode-se ainda definir uma admit�ncia paralela como a raz�o entre componentes tangenciais dos campos, i.e.,
Para ondas s
e (8.61) fornece
Utilizando (8.54) em (8.52) fornece
Uso de (8.62) em (8.59) fornece
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Assim, transmiss�o total para ondas s � obtida casando-se as admit�ncias paralelas dos dois meios, de acordo com a defini��o (8.62).
B. Express�es restritas a meios n�o magn�ticos
Em muitas situa��es ambos os
meios envolvidos n�o exibem efeitos magn�ticos significativos. Nessas situa��es,
Utilizando essas condi��es em (8.38), (8.39), (8.48) e (8.49) fornece
Essas express�es s�o utilizadas geralmente no vis�vel e infravermelho, quando se trabalha com superf�cies �pticas, filmes finos e vidros �pticos, situa��o em que o �ndice de refra��o torna-se um par�metro mais tang�vel.
C. Express�es restritas ao caso de incid�ncia normal
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Para incid�ncia normal os vetores de onda em cada regi�o s�o dados por
ou equivalentemente
Utilizando-se essa �ltima condi��o em (8.52), (8.56), (8.58) e (8.59) fornece
No caso de meios n�o magn�ticos, i.e.,
A Tabela 8.1 sumariza as express�es para os coeficientes de reflex�o e transmiss�o no caso geral, e nas situa��es espec�ficas discutidas nesta se��o.
Tabela 8.2 Coeficientes de reflex�o e transmiss�o para um interface simples.
Express�es gerais | ||
Polariza��o | Coeficiente de reflex�o | Coeficiente de transmiss�o |
Paralela | ||
Perpendicular | ||
Express�es gerais em termos de imped�ncias e admitancias de onda | ||
Polariza��o | Coeficiente de reflex�o | Coeficiente de transmiss�o |
Meios n�o-magn�ticos
Coeficiente de reflex�o | Coeficiente de transmiss�o | |
Paralela | ||
Perpendicular |
Incid�ncia normal
Coeficiente de reflex�o | Coeficiente de transmiss�o | |
Caso geral | ||
Meios n�o magn�ticos |
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8.3 Reflect�ncia e Transmit�ncia � Meios sem perdas
8.3.1 Conserva��o da pot�ncia eletromagn�tica
Uma quest�o importante a ser considerada refere-se �s fra��es de pot�ncia eletromagn�tica refletida e transmitida da interface. O teorema de Poynting permite obter a rela��o entre essas quantidades. Considere-se, a hip�tese inicial de meios sem perdas. Nessa hip�tese o teorema de Poynting (7.93) fornece
Fig.8.5 � Geometria para o c�lculo de fluxos de pot�ncia refletida e transmitida de uma interface simples. |
Note-se que o sinal negativo do primeiro termo do segundo membro dessa expressao garante que esse termo � positivo, uma vez que a onda refletida tem uma proje��o negativa do vetor de Poynting na dire��o z. Assim a Eq.(8.78) expressa que a densidade de pot�ncia ativa da onda incidente projetada na dire��o normal � igual � soma das respectivas proje��es das densidades de pot�ncia ativa das ondas refletida e transmitida. Ou seja, a lei de conserva��o de pot�ncia eletromagn�tica n�o implica no balanceamento entre as densidades de pot�ncia das tr�s ondas envolvidas, mas sim das proje��es na dire��o normal � interface. Isso implica no entanto, na conserva��o da pot�ncia eletromagn�tica, pois esse resultado � conseq��ncia do teorema de Poynting.
Fig.8.6 � Geometria para o c�lculo dos fluxos de pot�ncia em uma interface. |
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Ou seja, a regi�o ocupada pela onda refratada � alargada se
8.3.2 Reflect�ncia e Transmit�ncia
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As densidades de pot�ncia, para polariza��o paralela ou perpendicular t�m a mesma forma geral, ou seja:
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Utilizando (8.84) � (8.89) obt�m-se
Calculando (8.90) em z=0, obt�m-se
ou equivalentemente
De Eq.(8.91) define-se o par�metro
como a reflect�ncia da interface, i.e., a fra��o da pot�ncia ativa eletromagn�tica refletida da interface. Da mesma forma o par�metro
representa a transmit�ncia, i.e., a fra��o de pot�ncia transmitida da interface, em z=0.
Assim, (8.91) pode ser expressa na forma
um resultado v�lido independentemente da polariza��o da onda. Essa express�o � uma reafirma��o do princ�pio da conserva��o da energia. � importante observar que as defini��es (8.92) e (8.93) e o resultado (8.94) s�o independentes do tipo de polariza��o de onda.
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8.4 Reflex�o interna total e �ngulo de Brewster
8.4.1 Reflex�o interna total
Se
ou equivalentemente
Se
e da Tabela 8.1,
Note-se de (8.88) que
Da Eq.(8.96), com
De (8.99) e (8.100) pode-se concluir que h� fluxo de pot�ncia ativa no meio 2, apenas no sentido +x, e essa energia eletromagn�tica fica confinada em uma regi�o de largura
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Fig.8.7 Ilustra��o da exist�ncia de onda evanescente mediante o fen�meno de reflex�o interna total. |
Portanto:
Acima da condi��o de reflex�o interna total, os campos decaem exponencialmente no meio de menor �ndice de refra��o. Esses campos s�o ditos evanescentes, e n�o se propagam no sentido +z do meio 2. Conseq�entemente toda a pot�ncia eletromagn�tica � refletida de volta para o meio de maior �ndice de refra��o
8.4.2 �ngulo de Brewster
� poss�vel obter-se uma condi��o em que toda a pot�ncia incidente na interface seja transmitida para o segundo meio, com reflex�o nula. Essa condi��o ocorre no �ngulo de Brewster e s� existe se o campo el�trico
incidente estiver polarizado no plano de incid�ncia. O �ngulo de Brewster
ou equivalentemente
Juntamente com a lei de Snell para a refra��o dada por (8.15),
Elevando-se ao quadrado ambos os membros de (8.101) e (8.102) e somando obt�m
A divis�o dessa �ltima express�o pelo termo
o que permite obter uma express�o para o �ngulo de Brewster em termos dos par�metros eletromagn�ticos de ambos os meios, i.e.,
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Para meios n�o magn�ticos, i.e., na condi��o
A Fig.8.8 mostra a depend�ncia angular do coeficiente de reflex�o de pot�ncia calculado para n1=1,5 e n2 = 1 para polariza��o paralela e perpendicular, onde se pode observar a exist�ncia do �ngulo cr�tico para ambas as polariza��es. Como pode ser a� observado, o �ngulo de Brewster s� ocorre para polariza��o no plano de incid�ncia.
Fig. 8.8 Reflect�ncia para ondas p e s para n1=1.5 e n2=1. |
8.5 Reflex�o e refra��o em um meio absorvedor
Considere-se agora o caso de reflex�o e refra��o de uma onda plana em uma interface entre um meio sem perdas e um meio absorvedor. Quer-se determinar o comportamento da onda transmitida no meio absorvedor, estabelecer as rela��es de balan�o de energia e analisar as situa��es em que ocorrem, de forma aproximada, a reflex�o interna total e a transmiss�o total de pot�ncia eletromagn�tica.
No meio 2, o �ndice de refra��o complexo ser� expresso na forma
Para levar-se em conta situa��es em que o meio possa ter uma permeabilidade magn�tica diferente da do v�cuo, define-se o par�metro
tal que
Note-se que,
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Para meios n�o magn�ticos, i.e., meios em que
Essas equa��es fornecem equa��es biquadr�ticas para os par�metros
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Inserindo (8.114) em (8.113) permite obter
As express�es (8.116) e (8.117) permitem analisar, para o caso
em (8.116)-(8.117) muda de sinal. Note-se que
e
para
Fig. 8.9 �Depend�ncia angulara das partes real e imagin�ria dos par�metros |
Na aus�ncia de absor��o, i.e., com
A Fig.8.10 ilustra a elimina��o
gradual do efeito de reflex�o total, devido a uma pequena absor��o no meio 2, considerado com �ndice de refra��o
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Fig.8.10 Elimina��o gradual do efeito de reflex�o interna total absor��o crescente no meio de transmiss�o. |
Para analisar a refra��o da onda na interface, � importante notar que os campos no meio 2, s�o da forma,
ou seja, essa � uma onda plana dita inhomog�nea, pois sua amplitude varia no plano de fase constante. Assim, as superf�cies de amplitude constante, s�o distintas das superf�cies de fase constante. O vetor de onda no meio 2 � da forma
com
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A reflect�ncia para incid�ncia obl�qua pode ser obtida diretamente da Tabela 8.1. � interessante considerar, no entanto, o caso em que a onda est� polarizada no plano de incid�ncia, onde ocorre o �ngulo de Brewster. Da Tabela 8.1, para onda no plano de incid�ncia,
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Fig.8.11 Reflect�ncia de um meio absorvedor para onda p. |
Fig.8.12 Detalhe do efeito de deslocamento do �ngulo de Brewster em um meio absorvedor para onda p. |
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Fig.8.13 Reflect�ncia de um meio absorvedor para onda s. |
8.6 Reflex�o para incid�ncia frontal em um meio condutor
8.6.1 Determina��o dos campos dentro e fora do condutor
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Fig.8.14 Ilustra��o de uma onda eletromagn�tica com incid�ncia frontal em um meio condutor. |
O campo el�trico total no meio de entrada � dado por
e o campo f�sico,
Definindo
utilizando-se(8.138), (8.140), (8.142)-(8.144) obt�m-se
Note-se que para
� importante notar que, diferentemente das ondas viajantes convencionais que se propagam no espa�o, a distribui��o do campo obtido da superposi��o de onda incidente com a onda refletida forma uma onda estacion�ria no meio 1, com os m�ximos e m�nimos estacion�rios, conforme ilustrado na Fig.8.15. O campo, na aproxima��o de um meio de alta condutividade, tem um valor muito pr�ximo de zero na superf�cie do condutor.
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O campo magn�tico total no meio de entrada
|
Fig.8.15 � Forma de onda do campo el�trico total no exterior do meio condutor. |
� obtido com o emprego de (8.139) e (8.141). O campo f�sico, obtido na forma usual assume a forma
Que tamb�m forma uma onda estacion�ria no meio de entrada, com um m�ximo na superf�cie do condutor. Observa-se que as formas de onda associadas aos campos el�trico e magn�tico est�o defasadas de
Os campos no condutor podem ser obtidos com o emprego de (8.28)-(8.29) e (8.137) com o vetor de onda no meio condutor dado por
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|
Fig.8.16 � Formas de onda dos campos E e H na regi�o externa ao condutor. |
O campo f�sico no condutor � dado por
Essa express�o mostra
que o campo no condutor decai exponencialmente, e se propaga no sentido z com velocidade de fase
O campo magn�tico no condutor � obtido de (8.29) e (8.149), o que resulta em
e com o emprego da rela��o
Utilizando (8.137) nessa �ltima express�o, obt�m-se
ou equivalentemente
O campo f�sico � obtido da rela��o
o que fornece
A Fig.8.17 mostra o comportamento do campo magn�tico no interior e no exterior do condutor. Note-se que o campo magn�tico no interior do condutor tem um valor de entrada m�ximo, igual ao campo total no exterior, como deveria ser pelas condi��es de contorno. Vale tamb�m observar que a escala espacial de queda do campo e periodicidade s�o da ordem de
8.6.2 Profundidade de penetra��o e resist�ncia de folha
Alguns par�metros s�o �teis na descri��o das propriedades de condutores, com respeito � penetra��o de uma onda eletromagn�tica. Um deles � a imped�ncia de onda no condutor definida por
Com o emprego de (8.150) e (8.152) nessa express�o, obt�m-se
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|
Fig. 8.17 Comportamento do campo magn�tico dentro e fora de um bom condutor. |
Nota-se dessa express�o que a imped�ncia de onda do condutor � indutiva, ou seja, a energia armazenada no condutor, devido � penetra��o da onda eletromagn�tica � predominantemente magn�tica. Isso, de fato ocorre, uma vez que, como comentado anteriormente, o campo el�trico � muito pequeno no interior do condutor, o que n�o ocorre no caso do campo magn�tico, como mostra
(8.153). Este, no entanto, apesar de come�ar de seu m�ximo na superf�cie, decai exponencialmente no condutor. A queda ser� tanto mais r�pida quanto maior for o coeficiente de extin��o
O grau de penetra��o do
campo no condutor pode ser relacionado diretamente � freq��ncia e � condutividade do material. A profundidade de penetra��o
o que fornece
Com o emprego de (8.133) essa express�o pode ser colocada na forma
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em que
� importante observar, que a imped�ncia de onda pode ser redefinida em termos da profundidade de penetra��o. Isso pode ser obtido com o emprego de (8.155)-(8.157), o que fornece
com
definida como a resist�ncia de folha, cujo significado do termo e sua interpreta��o est�o elucidados na conclus�o deste Cap�tulo. Pelo momento basta notar, da forma de (8.159), que a resist�ncia de folha seria aquela medida ao longo de uma dire��o de comprimento w com se��o transversal medindo
Note-se que a profundidade de penetra��o diminui com o aumento de condutividade. Al�m disso, esse par�metro torna-se menor � medida que a freq��ncia aumenta. Isso implica que o uso de condutores para o transporte de energia, se torna proibitivo com o aumento da freq��ncia, uma vez que a se��o de passagem de corrente em um condutor torna-se cada vez menor, o que implica em aumento nas perdas por efeito Ohm. O uso de condutores para transporte de informa��o � tamb�m invi�vel com o aumento da freq��ncia. Por isso utilizam-se linhas de transmiss�o ou guias de onda, com o campo eletromagn�tico respons�vel pelo transporte de informa��o sendo guiado em uma regi�o diel�trica ou vazia confinada por condutores, caso dos guias de onda met�licos ou linhas de transmiss�o, ou em guias diel�tricos, como � o caso das fibras �pticas, para o transporte de radia��o vis�vel ou infravermelha.
Os campos no metal podem ser expressos em termos da profundidade de penetra��o. Com o emprego de (8.156) em (8.150) e (8.152) obt�m-se, respectivamente
8.18 � Geometria de defini��o da resist�ncia de folha de um condutor. |
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Os campos f�sicos assumem portanto as formas
A Fig.8.19 ilustra a influ�ncia da condutividade no comportamento dos campos E e H no interior do condutor em um dado instante de tempo. � medida que a condutividade aumenta, o valor de entrada do campo el�trico diminui. A regi�o ocupada por ambos os campos tamb�m diminui � medida que a condutividade aumenta, devido a uma diminui��o na profundidade de penetra��o no condutor.
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Fig.8.19 �Penetra��o de campos em um condutor. |
Para melhor elucidar o conceito de resist�ncia de folha, considere-se o c�lculo da pot�ncia ativa dissipada em um volume de dimens�es
conforme ilustrado na Fig.8.20. A corrente total que atravessa a se��o transversal de dimens�es
Inserindo (8.160) nessa express�o fornece
resultando em
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A potencia ativa dissipada no volume � dada por
Inserindo (8.160) em (8.166), vem
8.20 Geometrias utilizadas no conceito de resist�ncia de folha. |
o que fornece
A potencia ativa m�dia no volume pode ser relacionada �quela dissipada pela corrente que atravessa o segmento de largura w e que flui ao longo da dire��o y de comprimento w, com o emprego da rela��o
Assim, a resist�ncia do quadrado de largura w pode ser obtida de
Inserindo (8.159) e (8.161) em (8.163) fornece
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ou seja,
Essa �ltima rela��o mostra que a resist�ncia do quadrado de dimens�es
Os conceitos de resist�ncia de folha e de profundidade de penetra��o s�o muito �teis na determina��o de atenua��o em guias de onda, por exemplo. Se as paredes condutoras do guia forem feitas de material de alta condutividade, pode-se admitir que os condutores s�o perfeitos para determina��o de campos em uma primeira aproxima��o. O efeito dos campos internos �s paredes podem assim ser desprezados. As perdas no guia de ondas podem ser obtidas com o emprego da resist�ncia de folha. Nessa aproxima��o, tudo se passa como se a corrente de volume estivesse concentrada na superf�cie do condutor, com uma densidade superficial dada por
Nessa aproxima��o, o campo magn�tico � considerado nulo no interior do condutor. Com isso, a condi��o de contorno para o campo magn�tico seria aquela dada por (6.67), i.e.,
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com
Em geral, o campo
Uma outra aplica��o dessa formula��o � na determina��o da resist�ncia el�trica de condutores cil�ndricos, por exemplo, em altas freq��ncias, conforme ilustrado na Fig. 8.21. Na aproxima��o em que o raio a do condutor
satisfaz � condi��o
Com o emprego de (8.159) essa rela��o pode ser posta na forma
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8.21 � Geometria de um condutor cil�ndrico. |
Problemas
8.1 Uma onda plana incide em uma interface localizada em x = 0. Admita que o meio de entrada, localizado na regi�o
a) Determine a equa��o geral do plano de incid�ncia.
b) Determine o vetor de onda da onda refletida.
c) Determine o vetor de onda da onda transmitida.
d) Determine os �ngulos de incid�ncia e de refra��o.
e) Fa�a um desenho mostrando a disposi��o do sistema de coordenadas, vetores e �ngulos envolvidos.
8.2 Para o Problema 8.1, admita que ambos os meios sejam n�o-magn�ticos, i.e.,
a) Escreva uma poss�vel express�o para o vetor campo el�trico da onda incidente, se esta est� polarizada no plano de incid�ncia.
b) Para essa express�o do vetor campo el�trico determine o vetor campo magn�tico da onda incidente.
c) Fa�a um desenho mostrando a disposi��o do sistema de coordenadas e grandezas vetoriais envolvidas.
c) Determine os coeficientes de reflex�o e transmiss�o para essa polariza��o.
d) Determine os vetores campo el�trico e magn�tico da onda transmitida.
e) Determine a reflect�ncia e a transmit�ncia da interface.
f) Determine a pot�ncia total refletida e transmitida de uma por��o da interface de comprimento W = 1m na dire��o y e comprimento L = 1m na dire��o z.
8.3 Repita o Problema 8.2 para
8.4 Para o Problema 8.2, determine o campo total
8.5 Para o Problema 8.3, determine o campo total
8.6 Para o Problema 8.2, determine a energia m�dia total armazenada na regi�o
8.7 Para o Problema 8.3, determine a energia m�dia total armazenada na regi�o
8.8 Uma onda plana incide em uma interface planar. O meio de entrada tem permeabilidade relativa e permissividade relativa dadas, respectivamente, por
a) Determine os coeficientes de reflex�o e de transmiss�o para incid�ncia normal.
b) Determine o �ngulo critico para reflex�o interna total.
c) Determine o �ngulo de Brewster.
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8.9 Determine a rela��o entre os par�metros materiais
8.10 Considere uma interface entre meios n�o-magn�ticos, i.e.,
8.11 Mostre que para meios n�o magn�ticos, o �ngulo de Brewster para ondas p, equivale � condi��o
8.12 Uma onda plana incide do v�cuo (meio 1) em uma interface localizada em z = 0. Admita que o vetor de onda da onda incidente seja dado por
O
meio 2, localizado na regi�o
a) Determine o vetor campo magn�tico da onda incidente
b) Determine os vetores campo el�trico e campo magn�tico das ondas refletida e refratada.
c) Determine o menor �ngulo entre a dire��o da componente tangencial � interface do campo el�trico refletido e aquela do campo el�trico incidente.
d) Determine o menor �ngulo entre a dire��o da componente tangencial � interface do campo el�trico transmitido e aquela do campo el�trico incidente.
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8.13 Considere uma onda plana incidente do v�cuo (meio 1) em uma interface
localizada em z = 0. O meio 2 tem permeabilidade
8.14 Para o caso da interface definida no Problema 8.13, determine a reflect�ncia para incid�ncia normal, i.e.,
8.15 Para o caso da interface definida no Problema 8.13:
a) Determine aproximadamente o �ngulo de Brewster, de acordo com a formula��o descrita no texto.
b) Determine o valor da reflect�ncia m�nima, de acordo com a formula��o desenvolvida neste Cap�tulo.
8.16 Considere uma onda plana incidente do v�cuo em um bom condutor, localizado na regi�o z > 0. Admita que
8.17 Considere um condutor
com condutividade
a)
b)
c)
8.18 Para um campo de amplitude
[1] Um dos casos em que esse par�metro � complexo � tratado na se��o 8.4
[2] O subscrito s adv�m do ingl�s skin (pele ou pel�cula. Skin depth � Profundidade pelicular)