Teoria
Fala aí! Bem vindo ao RespondeAi, nessa página estaremos focados em buscar entender como a Primeira Lei da Termodinâmica influência a maneira que enxergamos os gases e como podemos estudar diferentes processos que podemos aplicar em um gás, como por exemplo aumentar sua temperatura, mudar o volume do compartimento em que ele está inserido, ou alterar a pressão sobre o gás.
A Primeira Lei da Termodinâmica trata da conservação de energia, ela diz que a energia nunca é criada nem destruída, ela sempre se transforma.
Isso permite que a gente estude transformações gasosas, muitos já estudaram isso no colégio, e chamavam de "piviti, povotó":
Mas na faculdade as mesma transformações são vistas, mas pensando na fórmula do trabalho de um gás.
O trabalho de um gás depende do seu volume inicial e final e da variação da pressão, conforme a fórmula:
Então vamos analisar os quatro processos de transformações gasosas que conhecemos analisando essa integral:
Processo Isobárico
Quando a pressão é constante temos a integral:
Logo o trabalho realizada por um gás em um processo isobárico pode ser calculado a partir da área de uma função em um gráfico .
Processo Isovolumétrico
Quando o volume é constante, então não há trabalho sendo realizado:
E isso é até intuitivo, pense que para uma máquina térmica gerar trabalho, normalmente a expansão do gás movimenta um pistão que movimenta outras partes móveis, se o gás não altera seu volume, ele não se expande, e não é capaz de movimentar nada e por isso o trabalho dele é zero.
Processo Isotérmico
Quando a temperatura é constante, temos que pedir ajuda para Clapeyron, ou seja, para descrever a pressão em termos da temperatura, temos que usar a equação , sendo:
Então nossa integral do trabalho ficaria:
Calculando essa integral, o trabalho em um processo isotérmico é:
Essas são as curvas isotérmicas que podem ser visas em um gráfico , todos os pontos em um mesma curva isotérmica, sempre irão apresentar a mesma temperatura.
Processo Adiabático
Em processos adiabáticos existem mudanças no gás mas sem que ele sofra variação de calor, ou seja, sem o gás perder o ganhar energia: .
Pela Primeira Lei:
Logo:
Você pode entender como calcular a energia interna de um gás aqui: Energia Interna de Um Gás
No nosso conteúdo exclusivo para assinantes você encontra gráficos, vídeos, e muitos exercícios sobre diferentes processos termodinâmicos em gases ideais, acompanha aqui em baixo um de nossos exercícios resolvidos.
Exercício
Acompanhe a resolução de um exercício de um prova de física da UERJ:
Um gás ideal, inicialmente sob pressão , sofre uma expansão livre (adiabática, sem trabalho externo) até que seu volume final seja 3 vezes o seu volume inicial. Responda:
a) Qual e a pressão do gás após a expansão livre?
b) O gás, então, é lenta e adiabaticamente comprimido até seu volume original. A pressão após a compressão é de , Determine se o gás é monoatômico, diatômico ou poliatômico.
Processo Isovolumétrico
Processo Isotérmico
Processo Adiabático
Exercício
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, volume 2 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 212. x-y 77
Uma amostra de gás se expande de uma pressão inicial de 10 P a e um volume inicial de 1,0 m 3 para um volume final de 2,0 m 3 . Durante a expansão, a pressão e o volume estão relacionados pela equação p = a V 2 , onde a = 10 N / m 8 . Determine o trabalho realizado pelo gás durante a expansão.
Passo 1
Para calcularmos o trabalho realizado por um gás só temos uma fórmula a usar
W = ∫ V i V f p d V
Substituindo os valores de volume inicial e final e p pela expressão que ele representa, temos
W = ∫ 1 2 10 . V 2 d V
Resolvendo a integral temos
W = 10 3 V f 3 - V i 3
W = 10 3 8 - 1
W = 70 3 = 23,33
Resposta
Exercício Resolvido #2
David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, volume 2 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 241. x-y 12
No intervalo de temperatura de 310 K a 330 K, a pressão p de um certo gás não ideal está relacionada ao volume V e à temperatura T através da equação
p = 24,9 J / K T V - 0,00662 J / K 2 T 2 V
Qual é o trabalho realizado pelo gás se a temperatura aumenta de 315 K para 325 K enquanto a pressão permanece constante?
Passo 1
Temos que resolver a seguinte integral, certo?
W = ∫ V i V f p d V
Como o enunciado fala que a pressão permanece constante, então podemos colocar p para fora da integral e ficamos com
W = p ∫ V i V f d V
Resolvendo a integral temos
W = p . Δ V = p V f - V i
Passo 2
Bom, agora precisamos descobrir quanto vale volume inicial e final, e faremos isso usando a equação que o enunciado forneceu
p = 24,9 J / K T V - 0,00662 J / K 2 T 2 V
Para acha os valores do volume, vamos isolar o volume nessa equação
V = 24,9 J / K T p - 0,00662 J / K 2 T 2 p
Substituindo agora o valor da temperatura inicial e final temos
V i = 24,9 J / K 31 5 p - 0,00662 J / K 2 31 5 2 p
V f = 24,9 J / K 3 25 p - 0,00662 J / K 2 3 25 2 p
Substituindo agora na fórmula de trabalho, chegamos em
W = p 24,9 3 25 - 31 5 - 0,00662 3 25 2 - 31 5 2 p
Assim,
W = 24,9 3 25 - 31 5 - 0,00662 3 25 2 - 31 5 2
W = 24,9 1 0 - 0,00662 64 00
W = 206 , 63 J
Resposta
Exercício Resolvido #3
David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, volume 2 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 241-13.
O ar inicialmente ocupa 0,140 m 3 à pressão manométrica de 103,0 k P a se expande isotermicamente para uma pressão de 101,3 k P a e em seguida é resfriado a pressão constante até atingir o volume inicial. Calcule o trabalho realizado pelo ar. (Pressão manométrica é a diferença entre a pressão real e a pressão atmosférica)
Passo 1
Queremos calcular o trabalho realizado pelo ar. Para isso vamos dividir o processo em três estados.
Aqui tem uma pegadinha mega importante! A pressão que ele dá em A é a pressão manométrica! Logo pra saber a pressão exata em A temos que somar a pressão atmosférica ( 101 k P a) ao valor que ele deu! ;)
Estado A – o inicio
E s t a d o A V A = 0,140 m 3 p A = 103,0 + 101 = 204 k P a T A
Estado B – o estado intermediário
E s t a d o B V B = ? p B = 101,3 k P a T B = T A
Estado C – o final
E s t a d o C V C = V A = 0,140 m 3 p C = p B = 101,3 k P a T C = ? ?
Passo 2
Agora que dividimos os estados, vamos calcular o trabalho realizado ao passar de A → B e depois o trabalho de B → C e soma-los
O processo realizado de A → B é isotérmico, então temos que resolver a integral
W = ∫ V i V f p d V
Mas como ele é isotérmico, podemos achar uma função que descreva o comportamento da pressão, certo? Só lembrarmos da fórmula
p V = n R T
Então
p = n R T V
Substituindo na integral, temos
W = ∫ V i V f n R T V d V
Resolvendo essa integral chegamos em
W = n R T . ln V f V i
Como terminamos de ver que
n R T = c t e
Podemos substituir na equação por p i . V i
W = p i . V i . ln V f V i
Podemos usar a relação do “piviti-povoto” para um processo em que a temperatura não muda e temos que
p i . V i = p f . V f
Então
V f V i = p 1 p f
Substiuindo isso na fórmula do trabalho chegamos que
W A → B = p i . V i . ln p A p B
Substiuindo os dados que temos e lembrando que a pressão que foi dada é manométrica, devemos somar a pressão da atmosfera para podermos calcular, temos
W A → B = 2,04.10 5 . 0,14 . ln 2,04 . 10 5 1,013.10 5
W A → B = 2,0.10 4 J
Passo 3
Agora vamos calcular o trabalho no processo B → C, como ele é um processo a pressão constante, temos que a integral é
W B → C = ∫ V i V f p d V = p . Δ V
W B → C = p B . V C - V B
Porém não sabemos o valor de V B , temos que encontra-lo antes de tudo para calcular o trabalho nesse processo
Por “piviti-povotó” já vimos que
V B V A = p A p B
V B = V A . p A p B
Substituindo na equação do trabalho temos
W B → C = p B . V C - p B . p A p B . V A
Como V C = V A
W B → C = V A p B - p A
Colocando os valores agora temos
W B → C = 0,14 1,013.10 5 - 2,04.10 5
W B → C = - 1,44.10 4 J
Passo 4
Agora basta somar W A → B com W B → C
W t = W A → B + W B → C = 2,0.10 4 - 1,44.10 4
W t = 5,6 k J
Resposta
Exercício Resolvido #4
David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, volume 2. Rio de Janeiro: LTC , 2008, 49
Quinhentos joules de trabalho devem ser realizados a fim de comprimir um gás à metade de seu volume inicial a temperatura constante. Quanto trabalho deverá ser realizado para comprimir o gás por um fator de 10, iniciando com o mesmo volume inicial?
Passo 1
Quando queremos determinar a variação do trabalho durante um processo isotérmico, devemos lembrar da seguinte relação:
W = n . R . T . ln V f V i
Pelo enunciado do problema, temos que são necessários 500 J para que V f = V i / 2. Como é uma compressão o trabalho é negativo, ou seja, W = - 500 J. Montando a equação, temos:
- 500 = n . R . T . ln V i / 2 V i
n . R . T = - 500 ln 1 2 = - 500 - ln 2 = 500 ln 2
n . R . T = 721,35
Agora que temos quanto vale n . R . T, podemos determinar quanto de trabalho deve ser realizado sobre o gás para que ele seja comprimido por um fator de 10, se liga!
Passo 2
Voltando à equação do trabalho, temos:
W = n . R . T . ln V f V i
Substituindo V f = V i / 10 e n . R . T = 721,35, temos:
W = 721,35 . ln V i / 10 V i
W ≈ - 1661 J
Resposta
Exercício Resolvido #5
UFRJ – 1ª Prova – 2012.2
Considere um gás ideal que absorve calor Q segundo um dos processos que seguem: ( i ) a volume constante; ( i i ) a pressão constante e ( i i i ) a temperatura constante. Para quais desses processos tem-se a variação da energia interna do gás ∆ E i n t igual a zero?
a Apenas (i).
b Apenas (ii).
c Apenas (iii).
d Apenas (i) e (ii).
e Apenas (i) e (iii).
f Apenas (ii) e (iii).
g Todas elas.
e Nenhuma delas.
Passo 1
Vamos ver um por um:
I - A variação a volume constante, segundo a primeira lei, é dada por:
∆ U = Q - W
Como o volume se mantem constante, temos que:
W = 0
Então:
∆ U = Q ≠ 0
Passo 2
I I - A pressão se mantendo constante, faz com que o trabalho seja dada por:
W = p ∆ V
Então:
∆ U = Q - p ∆ V
∆ U ≠ 0
Passo 3
I I I - Nesse caso, como a energia interna é uma função da temperatura, se a variação da temperatura é igual a zero, a variação da energia interna também é:
∆ T = 0 → ∆ U = 0
Resposta
Exercício Resolvido #6
UERJ – Lista para 2ª Prova
Um gás ideal, inicialmente sob pressão p 0 , sofre uma expansão livre (adiabática, sem trabalho externo) até que seu volume final seja 3 vezes o seu volume inicial. Responda:
a Qual é a pressão do gás após a expansão livre?
b O gás, então, é lenta e adiabaticamente comprimido até seu volume original. A pressão após a compressão é de 3 1 / 3 p 0 . Determine se o gás é monoatômico, diatômico ou poliatômico.
Passo 1
Primeiramente, vamos analisar uma expansão livre de acordo com a 1° lei da termodinâmica:
∆ U = Q - W
Como a expansão é livre, o gás não realizou trabalho, então:
W = 0
Além disso, como a expansão ocorreu adiabaticamente, não houve troca de calor, então:
Q = 0
Logo:
∆ U = 0
Opa! Legal, chegamos à conclusão que a variação da energia interna é igual a 0. Mas isso nos ajuda em quê? Bem, a importância disso está no fato de que a energia interna é uma função da temperatura. Logo, se não houve variação da energia interna, não houve variação da temperatura! Logo:
T = cte
Vamos lá então (:
Passo 2
a Queremos saber a pressão após a expansão livre. Vamos usar o piviti-povotó:
P 1 V 1 T 1 = P 2 V 2 T 2
Sabemos que:
T 1 = T 2 V 2 = 3 V 1
Cortando T na equação e substituindo V 2 :
P 1 V 1 T 1 = P 2 V 2 T 2
P 1 V 1 = P 2 3 V 1
P 2 = P 1 3
Sendo P 1 = p 0 :
P 2 = p 0 3
Passo 3
b Agora o gás é comprimido “lenta e adiabaticamente” até seu volume inicial. O que isso quer dizer? Quer dizer que podemos usar a equação:
P 2 V 2 γ = P 3 V 3 γ
Mas queremos descobrir que tipo de gás é esse. Mas como saberemos? Bom, o que nos dirá será o valor de γ :
Monoatômico: γ = 5 3
Diatômico: γ = 7 5
Caso o coeficiente não encaixe nesses casos, o gás será poliatômico!
Bom, sabemos que:
P 2 = p 0 3
P 3 = 3 1 / 3 ⋅ p 0
V 2 = 3 V 0
V 3 = V 0
Aplicando na fórmula:
P 2 V 2 γ = P 3 V 3 γ → p 0 3 ⋅ 3 V 0 γ = 3 1 / 3 p 0 V 0 γ
Simplificando:
3 - 1 . p 0 ⋅ 3 V 0 γ = 3 1 / 3 p 0 V 0 γ
3 γ - 1 = 3 1 / 3 → γ - 1 = 1 3 → γ = 4 3
Logo, o gás é poliatômico.
Resposta
Exercício Resolvido #7
UFRJ – 1ª Prova – 2013.2
A figura abaixo mostra três possíveis expansões de um gás ideal monoatômico, que encontra-se inicialmente no estado i (cujo volume é V 0 ) para os estados finais f I , f I I ou f I I I , todos de volume 2 V 0 , através de três processos reversíveis diferentes:
I – transformação isobárica;
I I – transformação isotérmica
I I I – transformação adiabática
Sobre tais processos, é INCORRETO afirmar que:
a A maior troca de calor se dá no processo isobárico.
b O trabalho realizado pelo gás é menor no processo adiabático.
c No processo isotérmico, todo o trabalho é transformado em calor.
d As temperaturas finais terão a relação T I I I < T I I < T I .
e Na transformação isotérmica, não haverá calor trocado com o gás, uma vez que Δ T = 0.
Passo 1
Vamos analisar, rapidamente, cada uma das alternativas:
Item a : A maior troca de calor se dá no processo isobárico.
Olhando de cara, não dá pra saber se a maior troca de calor acontece nessa, mas, como o trabalho é área sob a curva, sabemos que:
W I > W I I > W I I I
Vamos pular esse por enquanto.
Passo 2
Item ( b ) : O trabalho realizado pelo gás é menor no processo adiabático.
Essa é verdadeira, pois a curva adiabática ( I I I ) corresponde à menor área, como acabamos de ver.
Passo 3
Item c : No processo isotérmico, todo o trabalho é transformado em calor.
Essa também é verdadeira, pois, como o processo é isotérmico: Δ T = 0 .
Logo, Δ U = 0 , pois:
Δ U = g 2 n R Δ T
Então, pela Primeira Lei:
Q = Δ U + W
⇒ Q = W
Por isso, é verdadeiro que todo o trabalho se converte em calor ou vice-versa.
Passo 4
Item d : As temperaturas finais terão a relação T I I I < T I I < T I .
Olhando de cara, também não fica tão claro. Vamos ver a próxima.
Passo 5
Item ( e ) : Na transformação isotérmica, não haverá calor trocado com o gás, uma vez que Δ T = 0 .
Vimos que, na transformação isotérmica, Δ U = 0 .
Logo:
Q = W
Então, a afirmativa é falsa!
Quando Δ T = 0 , Δ U = 0 e não Q = 0 !
Passo 6
Só para conferir, agora podemos verificar item ( a ) :
Q = Δ U + W
Vimos que W I > W I I > W I I I .
Além disso, T I > T I I > T I I I .
Como a temperatura inicial é a mesma, então:
Δ T I > Δ T I I > Δ T I I I
Como
Δ U = g 2 n R Δ T
Então:
Δ U I > Δ U I I > Δ U I I I
Ora, se W I > W I I > W I I I e Δ U I > Δ U I I > Δ U I I I :
Q I > Q I I > Q I I I
Portanto, a maior troca de calor se dá no processo isobárico ( I ) .
Verdadeira.
Passo 7
Conferindo item ( d ) :
Podemos aplicar a equação dos gases ideais no estado final (piviti povotó).
Mas o volume é o mesmo nos três casos ( 2 V 0 ).
Logo:
p I T I = p I I T I I = p I I I T I I I
Então, se a temperatura aumenta, a pressão também aumenta à mesma proporção.
Como p I > p I I > p I I I , então:
T I > T I I > T I I I
Então a afirmativa é verdadeira!
Resposta
Exercício Resolvido #8
UERJ – Lista da 2ª Prova
Uma amostra de gás ideal se expande de uma pressão e volume iniciais de 32 atm e 1,0 L para um volume final de 4,0 L .A temperatura inicial é 300 K. Se o gás for monoatômico e a expansão for isotérmica, quais são:
a A pressão final, P f ?
b A temperatura final, T f ?
c O trabalho realizado pelo gás?
Refaça os itens anteriores para o caso em que a transformação é adiabática e o gás é monoatômico, e para o caso em que a transformação é adiabática e o gás é diatômico.
Dados:
-Constante dos Gases: R = 8,31 J/mol⋅K
-Pressão atmosférica: P a t m = 1,013 ⋅ 10 5 N / m 2
<defs aria-hidden="true"> <g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)" aria-hidden="true"> </g></defs>-Gás monoatômico: C v = 3 R / 2 , C P = 5 R / 2
Passo 1
Bom galera, nessa questão vamos usar vários conceitos de gases ideias. Essa questão é dividida em três casos:
-Caso 1: Se o gás for monoatômico e a expansão for isotérmica.
Nesse caso, as equações e constantes que vamos precisar usar são essas:
P 1 V 1 T 1 = P 2 V 2 T 2 ( Piviti-Povotó )
W = ∫ V i V f p d V
C v = 3 R / 2 , C P = 5 R / 2
-Caso2: Se a transformação for adiabática e o gás for monoatômico:
As equações e constantes são:
P 1 V 1 T 1 = P 2 V 2 T 2
P 1 V 1 γ = P 2 V 2 γ
W = ∫ V i V f p d V
∆ U = Q - W
∆ U = 3 2 n R ∆ T
C v = 3 R / 2 , C P = 5 R / 2
-Caso3: Transformação é adiabática e o gás é diatômico.
As equações e constantes são:
P 1 V 1 T 1 = P 2 V 2 T 2
P 1 V 1 γ = P 2 V 2 γ
W = ∫ V i V f p d V
∆ U = Q - W
∆ U = 5 2 n R ∆ T
C v = 5 R / 2 , C P = 7 R / 2
Além do mais, sempre é bom lembrar da equação geral dos gases:
P V = n R T
Bom, é isso! Mas não fique assustado, não vamos ter que refazer tudo em cada caso. Vamos fazer o primeiro caso e depois bastam algumas alterações nos outros dois (:
Passo 2
Vamos resolver os itens da questão para o caso 1 primeiro:
a Temos que achar a pressão final. Lembrando que a transformação é isotérmica, ou seja, a temperatura final é igual a inicial, nossos dados são esses:
V i = 1 L
V f = 4 L
P i = 32 atm
T i = T f = 300 K
P f = ?
Vamos substituir esses dados na equação:
P 1 V 1 T 1 = P 2 V 2 T 2
Vamos simplificar logo uma coisa: as temperaturas antes e depois são iguais, então podemos cortá-las da equação:
P 1 V 1 = P 2 V 2 → P 2 = P 1 V 1 V 2 = 32 ⋅ 1 4 = 8 atm
b Queremos saber a temperatura final... Mas lembra que a transformação é isotérmica? Logo, a temperatura final é igual à inicial e vale:
T f = T i = 300 K
c Agora precisamos saber o trabalho que o gás realizou nessa transformação. A equação que usamos é a integral:
W = ∫ V i V f p d V
Mas como calcular isso se a pressão e o volume variam constantemente numa transformação isotérmica? Segue o gráfico dessa transformação:
Bom, mas sabemos que a temperatura não varia! Vamos modificar essa integral para alguma que saibamos calcular. Usando a equação geral dos gases para isolar a pressão:
P V = n R T → P = n R T V
Substituindo na integral:
W = ∫ V i V f p d V
W = ∫ V i V f n R T V d V
W = n R T ∫ V i V f d V V
W = n R T ln V f V i
W = P V ln V f V i
Notou o pulo do gato no final? Isso porque P V = n R T
Ótimo, pois temos o volume inicial e final. Substituindo na equação os valores V i = 1 L e V f = 4 L , P i = 32 atm , e convertendo as unidades:
W = P i V i ln V f V i
W = 32 ⏟ atm ⋅ 1 ⏟ L ⋅ ln 4 1
W = 32 ⋅ 10 5 ⏟ Pa ⋅ 1 ⋅ 10 - 3 ⏟ m 3 ln 4
W ≅ 4,4 kJ
Ufa! Vamos agora aos outros casos.
Passo 3
-Caso2:
a Como agora estamos lidando com uma transformação adiabática, vamos usar:
P 1 V 1 γ = P 2 V 2 γ
Com:
γ = C p C v = 5 2 3 2 = 5 3
Além disso, temos os mesmos valores iniciais para o estado que o passo anterior. Logo, aplicando os valores de pressão e volume que temos na equação, podemos encontrar a P 2 :
P 1 V 1 γ = P 2 V 2 γ
P 2 = P 1 V 1 γ V 2 γ
P 2 = 32 ⋅ 1 5 3 4 5 3
P 2 ≅ 3,17 atm
b Eita, agora não podemos dizer que T 1 = T 2 , pois a transformação não é isotérmica! Então a gente vai ter que apelar pro Piviti-Povóto:
P 1 V 1 T 1 = P 2 V 2 T 2
T 2 = P 2 V 2 P 1 V 1 ⋅ T 1
T 2 = 3,17 ⋅ 4 1 ⋅ 32 ⋅ 300
T 2 ≅ 118,9 K
c Bom, precisamos calcular o trabalho realizado por um gás numa transformação adiabática! Como o gás é monoatômico, usaremos:
W = - ∆ U = - 3 2 n R ∆ T
∆ T é fácil de ser obtido pois sabemos T 1 e T 2 :
∆ T = 118,9 - 300 = - 181,1 K
E o n R pode ser obtido usando a equação geral dos gases e as condições iniciais(convertendo as unidades de pressão e volume):
P 1 V 1 = n R T 1
P 1 V 1 T 1 = n R
n R = 32 ⋅ 10 5 ⏟ Pa ⋅ 1 ⋅ 10 - 3 ⏟ m 3 300 ≅ 10,7
Substituindo as duas quantidades na fórmula:
W = - 3 2 n R ∆ T
W = - 3 2 ⋅ 10,7 ⋅ - 181,1
W ≅ 2,9 kJ
(:
Passo 4
-Caso3:
O caso 3 é bem similar ao caso 2. A única diferença é que o gás é diatômico. Sim, essa questão é um pouco repetitiva (u.u), mas ela nos ajuda a compreender as diferenças de cada transformação!
Vamos resolver o caso 3 mais rapidamente, lembrando-se de utilizar as mesmas condições de temperatura, volume e pressão iniciais que usamos nos outros:
a Vamos usar, novamente, a equação:
P 1 V 1 γ = P 2 V 2 γ
Precisamos só recalcular o valor de γ para um gás diatômico:
γ = C p C v = 7 2 5 2 = 7 5
Aplicando esse e os outros valores na equação:
P 1 V 1 γ = P 2 V 2 γ
P 2 = P 1 V 1 γ V 2 γ
P 2 = 32 ⋅ 1 7 5 4 7 5
P 2 ≅ 4,6 atm
b Vamos usar de novo Piviti-Povotó pra achar a temperatura final:
P 1 V 1 T 1 = P 2 V 2 T 2
T 2 = P 2 V 2 P 1 V 1 ⋅ T 1
T 2 = 4,6 ⋅ 4 32 ⋅ 1 ⋅ 300
T 2 = 172,5 K
c Novamente, como a transformação é adiabática, podemos escrever:
W = - ∆ U
Só que os gases diatômicos têm 5 graus de liberdade, como vimos na teoria, então:
W = - ∆ U
W = - 5 2 n R ∆ T
O ∆ T é fácil de calcular já que temos T 2 e T 1 :
∆ T = T 2 - T 1
Δ T = 172,5 - 300
Δ T = - 127,5
E o n R pode ser obtido usando a equação geral dos gases e as condições iniciais (convertendo as unidades de pressão e volume):
P 1 V 1 = n R T 1
P 1 V 1 T 1 = n R
n R = 32 ⋅ 10 5 ⋅ 1 ⋅ 10 - 3 300 ≅ 10,7
Logo, substituindo na equação do trabalho:
W = - 5 2 n R ∆ T
W = - 5 2 ⋅ 10,7 ⋅ - 127,5
W = 3,4 kJ
Resposta
-Caso 1:
a 8 atm
b 300 K
c 4,4 kJ
-Caso 2:
a 3,17 atm
b 118,9 K
c 2,9 kJ
-Caso 3:
a 4,6 atm
b 172,5 K
c 3,4 kJ
Exercício Resolvido #9
PUC-RIO – 3ª Prova – 2010.1
Um mol de gás ideal monoatômico, partindo sempre do estado inicial de volume V 0 , pressão p 0 e temperatura T 0 , dobra a temperatura por quatro processos diferentes. O processo 1 é a volume constante, o processo 2 é isobárico, o 3 é linear com pressão final p = 3 2 p 0 e 4 é adiabático. Dê as respostas em função de p 0 , V 0 e R.
a Coloque na tabela os valores da pressão p f e do volume V f no final de cada processo. Represente cada processo no diagrama p × V.
b Calcule a variação da energia interna Δ E i n t para cada um dos processos.
c No processo 3, calcule o trabalho W e o calor Q trocado.
Passo 1
Antes de atacar esse problema, vamos reunir as informações dadas:
T 1 = T 2 = T 3 = T 4 = 2 . T 0
V 1 = V 0
p 2 = p 0
p 3 = 3 2 p 0
a Vamos primeiro analisar o processo 1 :
Já sabemos que V 1 = V 0 , vamos então descobrir p 1 , para isso, vamos usar a lei dos gases ideais, ao final do processo 1 , temos:
p 1 . V 1 = n . R . T 1
p 1 . V 0 = n . R . ( 2 . T 0 )
Antes do processo 1 ocorrer, temos:
p 0 . V 0 = n . R . T 0
dividindo a equação dado para o fim do processo pela equação antes do processo começar, temos:
p 1 . V 0 p 0 . V 0 = n . R . 2 . T 0 n . R . T 0
p 1 = 2 . p 0
Passo 2
Vamos agora para o processo 2 , utilizaremos o mesmo processo, sabendo que a pressão permanece constante, precisamos apenas determinar o volume:
Ao fim do processo, temos:
p 2 . V 2 = n . R . T 2
p 0 . V 2 = n . R . ( 2 . T 0 )
Antes de o processo ocorrer, temos:
p 0 . V 0 = n . R . T 0
Dividindo as equeçoes, temos:
p 0 . V 2 p 0 . V 0 = n . R . 2 . T 0 n . R . T 0
V 2 = 2 . V 0
Passo 3
Para o processo 3 , já sabemos o valor da pressão final, precisamos determinar o volume, vamos novamente utilizar o mesmo procedimento de antes:
Ao fim do processo, temos:
p 3 . V 3 = n . R . T 3
3 2 . p 0 . V 3 = n . R . 2 . T 0
Antes de o processo ocorrer, temos:
p 0 . V 0 = n . R . T 0
Dividindo as equações, temos:
3 2 . p 0 . V 3 p 0 . V 0 = n . R . 2 . T 0 n . R . T 0
V 3 = 4 3 V 0
Passo 4
Agora vamos para o processo 4 . Como se trata de um processo adiabático, teremos:
T 4 . V 4 γ - 1 = T 0 . V 0 γ - 1
2 . T 0 . V 4 γ - 1 = T 0 . V 0 γ - 1
Para um gás ideal, temos que:
γ = C p C v = C v + R C v
γ = 3 2 R + R 3 2 R = 5 3
Voltando à equação para o processo, temos:
2 . T 0 . V 4 5 3 - 1 = T 0 . V 0 5 3 - 1
V 4 = 0,35 . V 0
Agora só falta determinar a pressão, para isso, vamos fazer:
p 4 . V 4 γ = p 0 . V 1 γ
p 4 . 0,35 . V 0 5 3 = p 0 . V 0 5 3
p 4 = p 0 0,35 5 3
p 4 = 5,75 . p 0
Agora é só montar a tabela e o diagrama:
Para o diagrama, teremos:
Passo 5
b Para determinar a variação da energia interna, vamos relembra a sua definição para gases monoatômicos:
Δ E i n t = 3 2 . n . R . Δ T
Como a variação de temperatura é a mesma em todos os processos, a variação da energia interna será a mesma em todos os processos:
Δ E i n t = 3 2 . 1 . R . ( 2 . T 0 - T 0 )
Δ E i n t = 3 2 . R . T 0
Sabendo que:
p 0 . V 0 = n . R . T 0
T 0 = p 0 . V 0 n . R
Substituindo na equação da energia interna, temos:
Δ E i n t = 3 2 . R . p 0 . V 0 n . R
Δ E i n t = 3 2 . p 0 . V 0
Passo 6
c Vamos analisar o processo 3 . Mas primeiramente vamos reunir os dados pertinentes a esse processo:
p 3 = 3 2 p 0
V 3 = 4 3 V 0
Para determinar o trabalho, podemos calcular a área abaixo da curva do processo linear, podemos ver, pelo diagrama que se trata de um trapézio, portanto, temos:
W = 3 2 . p 0 + p 0 2 . 4 3 . V 0 - V 0
W = 5 12 . p 0 . V 0
Passo 7
Agora que temos o trabalho e a energia intera já calculados, podemos, pela primeira lei da termidinâmica calcular o calor trocado:
Q = W + Δ E i n t
Q = 5 12 . p 0 . V 0 + 3 2 . p 0 . V 0
Q = 23 12 . p 0 . V 0
Resposta
a
b Δ E i n t = 3 2 . p 0 . V 0
c W = 5 12 . p 0 . V 0 ; Q = 23 12 . p 0 . V 0
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