Teste os seus conhecimentos: Faça exercícios sobre Fatorial e o Principio Fundamental da Contagem e veja a resolução comentada. Publicado por: Marcos Noé Pedro da Silva
De quantas maneiras 6 pessoas podem sentar-se num banco de 6 lugares de modo que duas delas fiquem sempre juntas, em qualquer ordem?
(Unifor–CE)
Um casal e seus quatro filhos vão ser colocados lado a lado para tirar uma foto. Se todos os filhos devem ficar entre os pais, de quantos modos distintos os seis podem posar para tirar a foto?
a) 24
b) 48
c) 96
d) 120
e) 720
(UFJF–MG)
Newton possui 9 livros distintos, sendo 4 de Geometria, 2 de Álgebra e 3 de Análise. O número de maneiras pelas quais Newton pode arrumar esses livros em uma estante, de forma que os livros de mesmo assunto permaneçam juntos, é:
a) 288
b) 296
c) 864
d) 1728
e) 2130
(ITA–SP)
Quantos números de seis algarismos distintos podemos formar usando os dígitos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, nos quais o 1 e o 2 nunca ocupam posições adjacentes (juntos), mas o 3 e o 4 sempre ocupam posições adjacentes?
a) 144
b) 180
c) 240
d)
288
e) 360
respostas
Como duas pessoas ficarão sempre juntas, podemos considerá-las uma única pessoa. Dessa forma temos que:
P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120
Sabendo que as duas pessoas podem se sentar de duas maneiras, teremos 2 * 120 = 240. Portanto as 6 pessoas podem ocupar o banco de 6 lugares, em que 2 fiquem sempre juntas, de 240 maneiras.
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Os pais deverão ocupar os extremos:
P ____ ____ ____ ____ M ou M ____ ____ ____ ____ P
2 * P4 = 2 * 4! = 2 * 4 * 3 * 2 * 1 = 48 maneiras
Resposta correta item b.
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4 livros de Geometria = P4
2 livros de Álgebra =
P2
3 livros de Análise = P3
P4 * P2 * P3 * P3 = 4! * 2! * 3!
4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24
2! = 2
3! = 3 * 2 * 1 = 6
P4 * P2 * P3 * P3 = 24 * 2 * 6 * 6
P4 * P2 * P3 * P3 = 1728 maneiras
Resposta correta item d.
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3 e o 4 ocupando posições adjacentes
5! *
2! = 120 * 2 = 240 números
1 e o 2 juntos e o 3 e o 4 juntos
4! * 2! * 2! = 24 * 2 * 2 = 96 números
3 e o 4 juntos e o 1 e o 2 nunca juntos
240 – 96 = 144 números
Resposta correta item a.
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Leia o artigo relacionado a este exercício e esclareça suas dúvidas
Assista às nossas videoaulas
· TRABALHO ESCRITO À MÃO
·
EM FOLHA DE PAPELALMAÇO
· DEVERÁ CONTER PARTE TEÓRICA (PESQUISA)
· DEVERÁ CONTER FIGURAS ILUSTRATIVAS DO CONTEÚDO
· EXERCÍCIOS RESOLVIDOS.
I. Análise combinatória
- Princípio multiplicativo ou princípio fundamental da contagem
- Fatorial
- Arranjos simples
- Combinação simples
- Permutação simples
- Permutação com elementos repetidos
II . Probabilidade
- Espaço amostral
- Evento
- Cálculo da probabilidade
III. Triângulo de Pascal e o Binômio de Newton
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1) De quantas maneiras 6 pessoas podem sentar-se num banco de 6 lugares de modo que duas delas fiquem sempre juntas, em qualquer ordem?
Resp:Como duas pessoas ficarão sempre juntas, podemos considerá-las uma única pessoa. Dessa forma temos que:
P5 = 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120
Sabendo que as duas pessoas podem se sentar de duas maneiras, teremos 2 . 120 = 240. Portanto as 6 pessoas podem ocupar o banco de 6 lugares, em que 2 fiquem sempre juntas, de 240 maneiras.
2)(Unifor–CE) Um casal e seus quatro filhos vão ser colocados lado a lado para tirar uma foto. Se todos os filhos devem ficar entre os pais, de quantos modos distintos os seis podem posar para tirar a foto?
Resp: Os pais deverão ocupar os extremos:
P ____ ____ ____ ____ M ou M ____ ____ ____ ____ P
2 ..P4 = 2 . 4! = 2 . 4 . 3 . 2 . 1 = 48 maneiras
3)(UFJF–MG) Newton possui 9 livros distintos, sendo 4 de Geometria, 2 de Álgebra e 3 de Análise. O número de maneiras pelas quais Newton pode arrumar esses livros em uma estante, de forma que os livros de mesmo assunto permaneçam juntos, é:
Resp: 4 livros de Geometria = P4
2 livros de Álgebra = P2
3 livros de Análise = P3
P4 . P2 . P3 . P3 = 4! . 2! . 3!
4! = 4 . 3 . 2 .
1 = 24
2! = 2
3! = 3 . 2 . 1 = 6
P4 . P2 . P3 . P3 = 24 . 2 . 6 . 6
P4 . P2 . P3 . P3 = 1728 maneiras
Resp: O produto C6, 3 . C4, 2 = 20 . 6 = 120 nos dá o total de pratos contendo 3 itens de carboidrato e 2 itens de proteína.
Já o produto C6, 2 . C4, 3 = 15 . 4 = 60 é igual ao total de pratos contendo 2 itens de carboidrato e 3 itens de proteína.
Por fim o produto C6, 1 . C4, 4 = 6 . 1 = 6 resulta no total de pratos contendo 1 item de carboidrato e 4 itens de proteína.
Somando 120, 60 e 6, obtemos o mesmo resultado obtido anteriormente.
Portanto:
O número máximo de pratos distintos que poderei fazer, contendo ao menos dois itens de proteína, é igual a 186 pratos.
Resp: Estamos trabalhando com combinação simples, pois não importa a ordem de preenchimento dos recipientes. No caso dos doces vamos calcular C8, 3:
Já no caso dos salgados vamos calcular C7, 2:
O número total de combinações será então o produto de 56 por 21:
Logo:
São 1176 as diferentes possibilidades de preenchimento do recipiente.
Como temos três tipos de calçados, a permutação destes três tipos é igual a 6:
P3 = 3! = 3 . 2 . 1 = 6
Ou seja, estando todos os calçados de um mesmo tipo juntos, o número de permutações é igual a 6, levando-se em consideração apenas o tipo de calçado, mas não o calçado em si.
Para os sapatos, temos 3 deles, que permutados entre si resulta em 6 permutações:
P3 = 3! = 3 . 2 . 1 = 6
Para os chinelos, temos 2 pares, que permutados entre si resulta em 2 permutações:
P2 = 2! = 2 . 1 = 2
Finalmente para os tênis, temos 5 pares, que permutados entre si resulta em 120 permutações:
P5 = 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120
Multiplicando estes quatro números temos:
P3 . P3 . P2 . P5 = 3! . 3! . 2! . 5! = 6 . 6 . 2 . 120 = 8640
As disposições possíveis são 8640.
Resp: Quando temos apenas 1 dado, temos um total de 6 resultados possíveis.
Quando temos 2 dados, cada um dos 6 resultados possíveis de um dos dados, pode ser combinado com cada um dos 6resultados possíveis do outro dado, resultando então em 36 resultados possíveis.
Como temos 3 dados, as 36 possibilidades combinadas dos outros 2 dados, combinadas às 6 possibilidades do terceiro dado resultarão em 216 resultados.
Em outras palavras, pelo princípio multiplicativo temos:
6 . 6 . 6 = 216
Logo:
Obteremos um agrupamento dentre os 216 possíveis.
Resp: Para a primeira ave a subir no poleiro tem-se 12 possibilidades, para a segunda tem-se 11, para a terceira tem-se 10 e assim por diante, até a décima ave onde teremos apenas 3 possibilidades, já que apenas duas ficarão de fora. Multiplicando tudo temos:
12 . 11 . 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 = 239500800
Resp: o espaço amostral possui 12 elementos, que é o número total de bolas, portanto a probabilidade de ser retirada uma bola verde está na razão de 5 para 12.
Como cada moeda pode produzir dois resultados distintos, três moedas irão produzir 2 . 2 . 2 resultados distintos, ou seja, poderão produzir 8 resultados distintos. Este é o nosso espaço amostral.
Dentre as 8 possibilidades do espaço amostral, o evento que representa todas as moedas com a mesma face para cima possui apenas 2 possibilidades, ou tudo cara ou tudo coroa, então a probabilidade será dada por:
A probabilidade das três moedas caírem com a mesma face para cima é igual a 1/4, ou 0,25, ou ainda 25%.
Resp: Sabemos que a probabilidade da mulher engravidar em um mês é de 20%, que na forma decimal é igual a 0,2. A probabilidade dela não conseguir engravidar é igual a 1 - 0,2, ou seja, é igual a 0,8.
Este exercício trata de eventos consecutivos e independentes (pelo menos enquanto ela não engravida), então a probabilidade de que todos eles ocorram, é dado pelo produto de todas as probabilidades individuais. Como a mulher só deve engravidar no quarto mês, então a probabilidade dos três meses anteriores deve ser igual à probabilidade dela não engravidar no mês, logo:
0,1024 multiplicado por 100% é igual a 10,24%.
Então:
A probabilidade de a mulher vir a engravidar somente no quarto mês é de 10,24%.
Resp: Na parte teórica vimos que a probabilidade da união de dois eventos pode ser calculada através da fórmula e no caso da intersecção dos eventos ser vazia, isto é, não haver elementos em comum aos dois eventos, podemos simplesmente utilizar .
Ao somarmos a quantidade de fichas obtemos a quantidade 14. Esta quantidade é o número total de elementos do espaço amostral.
Neste exercício os eventos obter ficha verde e obter ficha amarela são mutuamente exclusivos, pois a ocorrência de um impede a ocorrência do outro, não há elementos que fazem parte dos dois eventos. Não há bolas verdes que são também amarelas.
Note que esta fórmula nada mais é que a soma da probabilidade de cada um dos eventos.
O evento de se obter ficha verde possui 7 elementos e o espaço amostral possui 14 elementos, que é o número total de fichas, então a probabilidade do evento obter ficha verde ocorrer é igual a 7/14:
Analogamente, a probabilidade do evento obter ficha amarela, que possui 2 elementos, é igual a 2/14:
A probabilidade de ela ser verde ou amarela é 9/14.
TRIÂNGULO DE PASCAL