A distância entre dois pontos é determinada pela Geometria Analítica, responsável por estabelecer relações entre fundamentos geométricos e algébricos. As relações são intituladas com base num sistema de coordenadas cartesianas, que é constituído de dois eixos perpendiculares enumerados.
No plano cartesiano, qualquer ponto possui uma coordenada de localização, basta identificar o ponto e observar os valores primeiramente em relação ao eixo horizontal x (abscissa) e posteriormente em relação ao eixo vertical y (ordenada).
Nesse sistema de coordenadas podemos demarcar dois pontos e determinar a distância entre eles. Observe:
Observe que o triângulo formado é retângulo de catetos AC e BC e hipotenusa AB. Se aplicarmos o Teorema de Pitágoras nesse triângulo determinando a medida da hipotenusa estaremos também calculando a distância entre os pontos A e B. Vamos aplicar as propriedades da relação de Pitágoras no triângulo ABC, originando a expressão matemática responsável pela determinação da distância entre dois pontos em função de suas coordenadas.
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O Teorema de Pitágoras diz: “A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa”. No triângulo ABC temos que:
Cateto AC = x2 – x1
Cateto BC = y2 – y1
Exemplo 1
Qual a distância entre os pontos P(3, –3) e Q(–6, 2)?
A distância entre os pontos P e Q é igual a √106 unidades.
Exemplo 2
Determine a distância entre os pontos A(10, 20) e B(15, 6), localizados no sistema de coordenadas cartesianas.
Os pontos A e B se distanciam um do outro √221 unidades.
Aproveite para conferir nossa videoaula sobre o assunto:
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Transcrição de vídeo
RKA - Neste vídeo a gente vai aprender como medir a distância entre dois pontos quaisquer no plano cartesiano x e y para ver que na verdade isso é apenas uma aplicação do Teorema de Pitágoras. Vamos começar com um exemplo: digamos que tem o ponto, vou usar uma cor mais escura para ver no papel quadriculado. Tenho o ponto 3 e -4, e para marcar no gráfico movo Um, dois, três e depois desço quatro. Um, dois, três, quatro. Aqui é três e menos quatro. Digamos que também tem o ponto seis e zero. Um, dois, três, quatro, cinco, seis, e não tem nenhum movimento na direção y. Estamos no eixo x, a coordenada y é zero e esse é o ponto seis e zero. Quero descobrir a distância entre esses dois pontos. Qual é a distância desse ponto azul para o ponto laranja. À primeira vista dá para falar "não sei se vi alguma coisa sobre como descobrir uma distância como essa e o que o Teorema de Pitágoras tem a ver com tudo isso. Não estou vendo nenhum triângulo aqui". Se você não tá vendo um triângulo eu desenho um para você. Vou desenhar esse triângulo aqui... Assim. Na verdade é legal usar várias cores para ajudar a dar sentido nesse esquema Aqui está o triângulo e vocês podem reconhecer imediatamente que ele é um triângulo retângulo, este um ângulo reto. A base vai reto da esquerda para a direita e o lado direito vai reto para cima e para baixo. A gente lida com um triângulo retângulo. Se puder descobrir qual é o comprimento da base e qual é a sua altura, podemos usar o Teorema de Pitágoras para descobrir esse lado longo, o lado que é oposto ao ângulo reto, a hipotenusa. Essa distância é a hipotenusa deste triângulo retângulo. Deixa eu escrever: a distância é igual à hipotenusa desse triângulo retângulo. Vou desenhar um pouquinho maior. Esta é a hipotenusa. Depois a gente tem o lado da direita, um lado que vai reto de cima e para baixo, E depois temos nossa base. Como descobrimos? Vamos chamar de d para a distância, esse é o comprimento da nossa hipotenusa. Como descobrimos os comprimentos desse lado que vai para cima e para baixo e do lado da base? Vamos olhar para a base primeiro. Qual é essa distância? Poderemos contar no papel quadriculado, mas aqui onde x é igual a... Vou usar o verde para isso. Aqui estamos em x igual a 3. E aqui em x igual a 6 certo? Estamos nos movendo reto para a direita. Essa é a mesma distância que essa distância aqui em cima. Para descobrir essa distância, ela é literalmente o ponto final do x. Dá para partir de qualquer lado porque vamos elevar tudo ao quadrado, daí não importa se tem números negativos, a distância será seis menos três, certo? Seis menos três. É essa distância, que é igual a três. Sabemos agora o comprimento da base, e só para lembrar, é igual à mudança em x, que é igual ao seu x final menos seu x inicial, seis menos três. Esse é nosso delta x. Partindo do mesmo raciocínio, essa altura será a sua mudança em y. Aqui em cima você está em y igual a zero, aqui é onde terminou, esse é seu ponto y mais alto, e aqui está em y igual a menos quatro. A mudança em y é igual a zero menos - 4, estou só pegando o maior valor de y menos o menor valor de y. O maior valor de x menos o menor valor de x. Mas verão que vamos levar ao quadrado já, já. Assim, se tivessem feito do outro jeito iriam obter um número negativo, mas no final vocês obteriam a mesma resposta, que é igual a quatro. Portanto, esse lado é igual a quatro. Também dá para contar no papel quadriculado se preferirem, e esse lado é igual a três. Agora é hora de usar o Teorema de Pitágoras. Essa distância, a distância ao quadrado será igual a esse delta x ao quadrado, a mudança em x ao quadrado, mais a mudança em y ao quadrado. Isso não é nada complicado. Algumas vezes as pessoas chamam de "fórmula da distância" mas é apenas o Teorema de Pitágoras. Esse lado ao quadrado mais aquele lado ao quadrado é igual à hipotenusa ao quadrado, porque isto é um triângulo retângulo. Vamos aplicar com esses números, os números que temos disponíveis. Então, a distância ao quadrado será igual a delta x ao quadrado, que é 3 ao quadrado, mais delta y ao quadrado, mais 4 ao quadrado, que é igual a 9 mais 16, que é igual a 25. Essa distância é igual a d ao quadrado, é igual a 25. D, a nossa distância é igual a... não queremos calcular a raiz quadrada negativa porque não podemos ter uma distância negativa, então apenas a raiz principal. A raiz quadrada positiva de 25, que é igual a 5, portanto essa distância é 5. Ou, se olhar para essa distância, esse era o problema original, qual é a distância desse ponto para esse ponto? É de cinco unidades. O que estão vendo chamam de fórmula da distância, mas é simplesmente o Teorema de Pitágoras. Algumas vezes as pessoas vão dizer "se tenho dois pontos", "se tenho um ponto", vamos chamar de x1 e y1, de forma que seja um ponto específico, e digamos que tem outro ponto que é x2 e y2. Algumas vezes, possivelmente, vocês vejam esta fórmula de diferentes maneiras, mas vocês verão que a distância é igual a... e parece que essa fórmula é realmente complicada, mas quero que vejam que na verdade é apenas o Teorema de Pitágoras. A distância é igual a x2 menos x1 ao quadrado, mais y2 menos y1 ao quadrado, y2 menos y1 ao quadrado. Vocês verão isso escrito em vários livros como a fórmula da distância. Não percam tempo memorizando porque ela é apenas o Teorema de Pitágoras Esta é sua mudança em x, na verdade não importa o x que pegar antes ou depois porque mesmo que obtenha um negativo desse valor, quando elevarem ao quadrado, o sinal negativo vai sumir. Isso é sua mudança em y, então está dizendo apenas que é a distância ao quadrado, lembrem-se se elevarem os dois lados desta equação ao quadrado o radical irá desaparecer e será a distância ao quadrado é igual a esta expressão ao quadrado, a delta x ao quadrado. A mudança em x delta significa mudança em delta x ao quadrado mais delta y ao quadrado, não quero te confundir, delta y significa apenas a mudança em y. Eu talvez deveria ter dito isso antes no vídeo, mas vamos aplicar alguns outros exercícios e escolher alguns pontos aleatoriamente. Os pontos um, dois, três, quatro, cinco, seis, menos seis e menos quatro. E quero descobrir a distância entre este e um e... um, dois, três, quatro, cinco, seis, sete. O ponto um e sete. Quero descobrir essa distância aqui. A ideia é exatamente a mesma, e só precisamos usar o Teorema de Pitágoras. Descobrimos essa distância, que é a nossa mudança em x, essa distância, que a nossa mudança em y, essa distância ao quadrado mais essa distância ao quadrado será igual àquela distância ao quadrado. Nossa mudança em x, basta pegar... não importa, em geral pegamos o maior valor de x menos o menor valor de x, mas podem fazer dos dois jeitos. Então, a gente pode escrever que a distância ao quadrado é igual a: qual é a nossa mudança em x? Vamos pegar o x maior menos o x menor: 1 menos -6. 1 menos -6 ao quadrado mais a mudança em y, o maior y é esse, é sete. 7 menos -4, 7 menos -4 ao quadrado. Só peguei esses números aleatoriamente de um jeito que provavelmente não iremos obter um bom resultado. Tenho então que a distância ao quadrado é igual a 1 menos -7 é sete, sete ao quadrado, e podem ver, irão se mover um, dois, três, quatro, cinco, seis, sete. Isso é esse número aqui, ele é a nossa mudança em x. Mais 7 menos -4, que dá 11. Isso é essa distância, e podem contar os quadrados, subimos onze. Estamos apenas calculando 7 menos -4 para obter uma distância de 11. Então mais onze ao quadrado é igual a d ao quadrado. Vou pegar a calculadora... Então, a distância, se calcular que sete ao quadrado mais onze ao quadrado é igual a 170. Aquela distância será igual à raiz quadrada disso, d ao quadrado é igual a 170. Vamos calcular a raiz quadrada de 170 e obtemos 13,0 aproximadamente 13,04. Essa distância que tentamos descobrir é 13,04. Espero que tenham achado isso útil.