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Exercício Geral- Estatística Descritiva- Data de entrega: ____/____/___ Regras de Probabilidade 1. Complementar de A P(A’) = 1 – P(A). 2. P(A ou B) Eventos dependentes P(A B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) Eventos mutuamente excludentes ] P(A B) = P(A) + P(B) 3. P(A e B) P(A∩B) = P(B\A) . P(A) P(A∩B) = P(A\B) . P(B) (Eventos dependentes) P(A∩B) = P(A). P(B) -(Eventos independentes) 1. Lançando-se um dado, qual a probabilidade de ocorrer o ponto 4 ou um ponto ímpar? S = {1, 2, 3, 4, 5,6} A = {4} P(A B) = P(A) + P(B) B = {1, 3, 5} =1/6+3/6 P(A)= 1/6 =4/6 P(B) = 3/6 2. Retirando-se, aleatoriamente, uma carta de um baralho, qual a probabilidade de ocorrer “figura” e “espada”? A = {figura} n=12 P(A∩B) = P(B\A) . P(A) B = {Carta de espada} n=13 =3/12 . 12/52 P(A∩B)={Figura de espada} n=3 =3/52 P(B\A)= n(A∩B)/n(A) = 3/12 3. Um experimento aleatório consiste em retirar ao acaso 3 cartas de um baralho com 52 cartas. Qual é a probabilidade de saírem duas figuras e um ás? A = {áz} B = {Figura} P(2F e 1A) = 5525 33 22100 264 ou 4. Num baralho de 52 cartas, colocados numa urna, uma carta é escolhida aleatoriamente, qual é a probabilidade de se obter 1 carta de ouro, ou 1 carta de paus. P(A B) = 26/52 ou 1/2 5. Num baralho de 52 cartas, colocados numa urna, uma carta é escolhida casualmente, qual é a probabilidade de se obter 1 áz ou uma carta de espada na retirada dessa carta? P(A B) = 16/52 6. Um baralho de 52 cartas tira-se uma carta ao acaso. Qual a probabilidade de ser ouros ou figura a carta tirada? P(A B) = 22/52 7. No lançamento de dois dados, qual a probabilidade de sete pontos? P(7)= 6 1 36 6 )( )( ou Sn An 8. No mesmo baralho, do exemplo anterior. Qual é a probabilidade de se tirar 2 figuras ou 2 azes? A = {ázes} B = {Figura} P(A B) = 12/221 9. Uma caixa contém 4 bolas pretas e 2 bolas brancas. Retirando-se, ao acaso, duas bolas sem reposição, qual a probabilidade de ambas serem pretas? P(Bolas pretas) = 5 2 10. No lançamento de 3 moedas, qual a probabilidade de ocorrer duas “caras” e uma “coroa”? P(A)= 8 3 11. Considere o lançamento de dois dados (Hexaedro). Considere os eventos: A: Soma dos números obtidos iguais a 9 e B: número do primeiro dado maior ou igual a 4. Enumere os elementos de A e B. Obtenha A B, A∩B e Ac. Obtenha as probabilidades dos eventos. P(A)= 9 1 36 4 )( )( ou Sn An P(B)= 2 1 36 18 )( )( ou Sn Bn P(A∩B)= 12 1 36 3 )( )( ou Sn AeBn a) P(A B) = 19/36 b) P(A∩B) = 54 1 P(A\B)= 6 1 c) P(A c )= 32/36 12. Das 10 alunas de uma classe, 3 tem olhos azuis. Se duas delas são escolhidas ao acaso, qual é a probabilidade de ambas terem olhos azuis? Calcule também a probabilidade de nenhuma ter olhos azuis. a) P(A) = 45 3 b) Se temos 10 alunas e 3 tem olhos azuis significa que 7 não tem. P(B) = 15 7 13. Um casal tem dois filhos. Qual é a probabilidade de: (a) O primogênito ser homem? (b) Os dois filhos serem homens? (c) Pelo menos um dos filhos ser homem? a) P(A)= 2 1 b) P(B)= 4 1 c) P(C)= 4 3 14. Numa escola fez-se uma enquête com duas perguntas: Gosta de matemática? Gosta de Estatística? Os resultados obtidos foram: 86 respostas sim à primeira pergunta; 75 respostas sim à segunda; 23 respostas sim às duas perguntas e 42 respostas não às duas perguntas. Pede-se: a) Quantos alunos foram entrevistados? b) Sorteando, ao acaso, um dos alunos entrevistados, qual a probabilidade de que ele tenha respondido sim à primeira pergunta? c) Sorteando, ao acaso, um dos alunos entrevistados, qual a probabilidade de que ele tenha respondido sim à primeira pergunta e não à segunda pergunta? a) 180alunos foram entrevistados b) P(A)= 90 43 c) P(A\B)= 180 63 23 A 63 63 B 52 42
A probabilidade é uma área da Matemática que estuda as chances de algo ou fenômeno acontecer ou se repetir. Os estudos sobre Probabilidade iniciaram-se através dos jogos de cartas, dados e roleta, atualmente chamados de jogos de azar.
Para o melhor
entendimento sobre Probabilidades por parte dos alunos, devemos relacionar as aulas com aplicações cotidianas. Podemos demonstrar ao estudante as chances reais de uma pessoa ganhar na loteria: quina, sena, loto-fácil. O uso de materiais concretos deixa a aula mais dinâmica e envolvente.
Um material importante no estudo de espaço amostral e eventos é o dado.
O dado é um sólido geométrico de seis faces congruentes, denominado “cubo”, suas faces são enumeradas de 1 a 6.
Dizemos que o
espaço amostral do dado é: 1, 2, 3, 4, 5, 6. As chances de se obter um número escolhido anteriormente é de 1 em 6, o que corresponde a uma probabilidade de 16,6%. Podemos pedir para o aluno calcular a probabilidade de sair um número par ou um número impar, vejamos:
Número par: 2, 4 e 6.
Número ímpar: 1, 3, 5.
Nas duas situações temos a chance igual de 3 em 6, isto é, 50% de chance de sair um número par e 50% de chance de sair um número ímpar. Várias outras situações podem ser
propostas com uso de dados, como o lançamento de dois dados ou mais.
O baralho também é um importante material concreto que pode ser usado em sala de aula para a melhor apreensão e compreensão de espaço amostral e eventos na Probabilidade.
O baralho é constituído por 52 cartas (espaço amostral), sendo 26 vermelhas e 26 pretas. Possui 4 naipes: copas, ouro, paus e espadas. Observe a tabela com as informações detalhadas de um baralho:
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Podemos ter vários eventos no baralho, ao retirarmos ao acaso uma carta do baralho temos 50% de chance da carta ser preta ou vermelha, pois são 26 cartas pretas ou 26 cartas vermelhas entre as 52 cartas.
Outro tipo de evento que ocorre no baralho é a chance de tirarmos ao acaso uma carta e obtermos um determinado naipe, a probabilidade
verificada é de 13 em 52, isto é 25% de chance.
Se optarmos por retirar, por exemplo, o três de ouro, as chances se tornam bem pequenas, pois teremos 1 em 52, que resulta em 1,9% de chance de o evento ocorrer.
O professor deve buscar sempre a utilização de materiais concretos, essa atitude faz a diferença na formação continuada do educando.
Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola