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1 Probabilidade - www.matematica.com.br - Jorge Krug Introdução Dentro de certas condições, é possível prever a que temperatura o leite ferve. Esse tipo de experimento, cujo resultado é previsível, recebe o nome de determinístico. No entanto, ao lançarmos um dado uma ou mais vezes, não podemos saber com antecedência o número obtido; sabemos apenas que os possíveis resultados são 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Esse tipo de experimento, cujo resultado não pode ser previsto, é chamado aleatório. São aleatórios os seguintes experimentos: O sorteio da Megassena. A escolha de um número de 1 a 50. O sorteio do 1º prêmio da loteria federal. A escolha de uma senha de acesso à conta bancária. O lançamento de uma moeda ou dado. O resultado do jogo 5 da loteria esportiva. Na teoria das probabilidades, estudamos os experimentos aleatórios equiprováveis, isto é, experimentos onde qualquer resultado pode ocorrer com a mesma chance. Exemplo: No lançamento de uma moeda, a probabilidade de ocorrer cara ou coroa é a mesma. Como se calcula a probabilidade de determinado evento? A probabilidade P(x) da ocorrência de determinado evento x calcula-se utilizando o número de possibilidades que me interessam (eventos favoráveis) e o número total de possibilidades (eventos possíveis), dividindo-se o primeiro pelo segundo, assim: Exemplos: 01. Qual a probabilidade de obtermos “cara” ao atirarmos para cima uma moeda? Solução: A probabilidade é 1 2 , ou seja, 0,5 = 50%, visto que uma moeda tem 2 faces. Probabilidade nº de eventos favoráveis P(x) nº de eventos possíveis nº de eventos favoráveis 1 P(x) nº de eventos possíveis 2 QUERO P(x) TENHO ou //www.matematica.com.br/ 2 Probabilidade - www.matematica.com.br - Jorge Krug 02. Qual a probabilidade de obtermos face 5 no arremesso de um dado? Solução: Visto que um dado tem 6 faces, a probabilidade é calculada dividindo o número de eventos favoráveis (1) pelo número de eventos possíveis (6), ou seja, 1 6 ou 16,66%. 03. Jogando um dado duas vezes, qual a probabilidade de obter a soma dos pontos menor que 6? Solução: Temos 36 elementos (a, b) possíveis, onde a é a face do dado 1 e b a face do dado 2. 1 2 3 4 5 6 1 1 - 1 1 - 2 1 - 3 1 - 4 1 - 5 1 - 6 2 2 - 1 2 - 2 2 - 3 2 - 4 2 - 5 2 - 6 3 3 - 1 3 - 2 3 - 3 3 - 4 3 - 5 3 - 6 4 4 - 1 4 - 2 4 - 3 4 - 4 4 - 5 4 - 6 5 5 - 1 5 - 2 5 - 3 5 - 4 5 - 5 5 - 6 6 6 - 1 6 - 2 6 - 3 6 - 4 6 - 5 6 - 6 Dessas 36 possibilidades, temos 10 favoráveis (estão salientadas na tabela acima em verde). Assim, nº de eventos favoráveis 10 P(x) 0,27 ou 27% nº de eventos possíveis 36 04. Escolhido ao acaso um elemento do conjunto dos divisores de 30, determinar a probabilidade de que ele seja primo. Solução: Nº de eventos possíveis Divisores de 30 = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} Nº de eventos favoráveis Primos = {2, 3, 5) nº de eventos favoráveis 3 P(P) 0,375 ou 37,5% nº de eventos possíveis 8 05. Qual a probabilidade de retirar 1 bola vermelha de uma urna contendo 3 bolas brancas, 2 vermelhas e 5 verdes? E de retirar 1 branca? Solução: 1 bola vermelha 10 possíveis 2 favoráveis nº de eventos favoráveis 2 1 P(V) 0,20 ou 20% nº de eventos possíveis 10 5 1 bola branca 10 possíveis 3 favoráveis nº de eventos favoráveis 3 P(B) 0,30 ou 30% nº de eventos possíveis 10 nº de eventos favoráveis 1 P(x) nº de eventos possíveis 6 Faces do dado 2 Faces do dado 1 //www.matematica.com.br/ 3 Probabilidade - www.matematica.com.br - Jorge Krug 06. Qual é a probabilidade de sair um “dois”, ao retirar, ao acaso, uma carta de um baralho de 52 cartas? Solução: Um baralho de 52 cartas possui uma carta 2 de naipe ouro, uma carta 2 de naipe paus, uma carta 2 de naipe copas e uma carta 2 de naipe espadas. Logo, o baralho possui 4 carta com o número 2. Assim: nº de eventos favoráveis 4 1 P(2) 0,08 ou 8% nº de eventos possíveis 52 13 07. Em um jogo, dentre dez fichas numeradas com números de 1 a 10, duas fichas são distribuídas ao jogador, que ganhará um prêmio se tiver recebido fichas com dois números consecutivos. A probabilidade de ganhar o prêmio neste jogo é de a) 14% b) 16% c) 20% d) 25% e) 33% Solução: Como temos os inteiros de 1 a 10, existem nove pares de números consecutivos. Vejamos quais: (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6), (6, 7), (7, 8), (8, 9), (9, 10). No entanto, temos C10, 2 = ...... 10! 8! 2! = 10.9 2.1 = 45 maneiras diferentes de serem distribuídas 2 fichas distintas (ordem não importa). Portanto, a probabilidade de ganhar o prêmio é: P = 9 1 0,2 45 5 , ou seja, 20%. 08. Num grupo de 75 jovens, 16 gostam de música, esporte e leitura; 24 gostam de música e esporte; 30 gostam de música e leitura; 22 gostam de esporte e leitura; 6 gostam somente de música; 9 gostam somente de esporte; e 5 jovens gostam somente de leitura. a) Qual é a probabilidade de, ao apontar, ao acaso, um desses jovens, ele gostar de música? b) Qual é a probabilidade de, ao apontar, ao acaso, um desses jovens, ele não gostar de nenhuma dessas atividades? Solução: Vamos distribuir no diagrama de Venn, as informações do problema, sendo M o conjunto dos jovens que gostam de música, E, os que gostam de esporte e L, de leitura. a) Gostam de música = 6 + 8 + 16 + 14 = 44 44 P(M) 0,58 ou 58% 75 b) Não gostam de nenhuma atividade = 11 11 P(N) 0,14 ou 14% 75 Paus, ouros, copas e espadas M E L 6 9 5 14 6 16 8 11 //www.matematica.com.br/ 4 Probabilidade - www.matematica.com.br - Jorge Krug 09. (UFRGS) Considere dois dados, cada um deles com seis faces, numeradas de 1 a 6. Se os dados são lançados ao acaso, a probabilidade de que a soma dos números sorteados seja 5 é a) 1 15 . b) 2 21 . c) 1 12 . d) 1 11 . e) 1 9 . Solução: Vamos determinar o número total de possibilidades e o número total de eventos favoráveis, e depois, aplicar a fórmula: P(A) = nº de eventos favoráveis nº total de possibilidades ( i ) Número total de possibilidades 1 2 3 4 5 6 1 1 - 1 1 - 2 1 - 3 1 - 4 1 - 5 1 - 6 2 2 - 1 2 - 2 2 - 3 2 - 4 2 - 5 2 - 6 3 3 - 1 3 - 2 3 - 3 3 - 4 3 - 5 3 - 6 4 4 - 1 4 - 2 4 - 3 4 - 4 4 - 5 4 - 6 5 5 - 1 5 - 2 5 - 3 5 - 4 5 - 5 5 - 6 6 6 - 1 6 - 2 6 - 3 6 - 4 6 - 5 6 - 6 Número total = 6 . 6 = 36 possibilidades. ( ii ) Número total de eventos favoráveis: E = {(1, 4), (4, 1), (2, 3), (3, 2)} Nº total = 4 P(A) = 4 1 36 9 10. No lançamento simultâneo de dois tetraedros distinguíveis perfeitos, cujas faces estão numeradas de 1 a 4, qual é a probabilidade de que: a) o mesmo número apareça em ambos os tetraedros? b) a soma dos números seja maior que 5? c) a soma dos números seja maior que 1? d) a soma dos números seja menor que 1? e) a soma dos números seja 7? f) a soma dos números seja divisível por 3? Solução: O tetraedro possui 4 faces, que são numeradas de 1 a 4. Número total de possibilidades, com 2 tetraedros distinguíveis é: 4 . 4 = 16. 1 2 3 4 1 1 - 1 1 - 2 1 - 3 1 - 4 2 2 - 1 2 - 2 2 - 3 2 - 4 3 3 - 1 3 - 2 3 - 3 3 - 4 4 4 - 1 4 - 2 4 - 3 4 - 4 Faces do dado 2 Faces do dado 1 Faces do tetraedro 1 Faces do tetraedro 2 //www.matematica.com.br/ 5 Probabilidade - www.matematica.com.br - Jorge Krug a) {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)} 4 favoráveis 4 1 P 0,25 ou 25% 16 4 . b) {(2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 3), (4, 4)} 5 favoráveis 5 P 0,31 ou 31% 16 . c) Todas as 16 possibilidades. 16 P 1 ou 100% 16 . d) Nenhuma possibilidade.