Em um polígono, um ângulo interno é aquele formado por dois lados consecutivos:
ou seja, o vértice de um ângulo interno coincide com o vértice do polígono. Na figura acima, temos destacado o ângulo \(A\hat{B}C\).
Já um ângulo externo é aquele se forma quando prolongamos um dos lados do polígono. Por exemplo, tomando a figura anterior, ao se prolongar o lado \(\bar{BC}\), formamos o seguinte ângulo do lado de fora:
Note que um ângulo interno junto com o seu ângulo externo são sempre suplementares, isto é, a soma de suas medidas vale 180º:
$$A\hat{B}C+A\hat{B}G=180º$$
Por exemplo, no triângulo abaixo, temos um ângulo interno de 70º:
ao se prolongarmos um dos lados desse ângulo, obtemos seu ângulo externo, cuja medida é de 110º pois, 110º+70º=180º.
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�� ��Ã�Ç��� UNIDADE(S) TEMÁTICA(S): Geometria. OBJETOS DE CONHECIMENTO: Construções geométricas de ângulos, polígonos e diagonais. HABILIDADE(S): (EF08MA15) Construir, utilizando instrumentos de desenho ou softwares de geometria dinâmica, mediatriz, bissetriz, ângulos de 90°, 60°, 45° e 30° e polígonos regulares. CONTEÚDOS RELACIONADOS: Polígonos e suas classificações, ângulos, segmentos e diagonais. INTERDISCIPLINARIDADE: Relacionar os conhecimentos adquiridos com o cotidiano. ������A������A��������A� SECRETARIA DE ESTADO DE EDUCAÇÃO DE MINAS GERAIS COMPONENTE CURRICULAR: MATEMÁTICA ANO DE ESCOLARIDADE: 8º ANO NOME DA ESCOLA: ESTUDANTE: TURMA: NÚMERO DE AULAS POR SEMANA: 5 TURNO: TOTAL DE SEMANAS: 4 NÚMERO DE AULAS POR MÊS: 20 �� �����A�A�� POLÍGONO Polígono é uma figura geométrica plana e fechada, formada por segmentos de retas, de forma que cada segmento se conecta a dois outros pelos seus pontos extremos. Esses segmentos de reta con- stituem os lados do polígono. Os pontos extremos dos lados do polígono são seus vértices. No polígono acima, os pontos A, B, C, D e E são vértices. Polígonos podem ser classificados em convexos e não convexos. Um polígono é dito convexo quando todo segmento de reta, que conecta dois pontos da região interna do polígono, ficar totalmente conti- do no interior dessa região. Caso isso não ocorra, dizemos que o polígono é não convexo. Nosso interesse será estudar os polígonos convexos. Podemos associar aos polígonos ângulos importantes. �� Um polígono é dito regular quando todos os seus lados forem congruentes (mesma medida) e todos os seus ângulos internos também forem congruentes (mesma medida). No volume 2 do PET, trabalhamos os polígonos de 3 lados (triângulos) e 4 lados (quadriláteros). Se n é o número de lados do polígono, a soma S dos ângulos internos pode ser determinada pela fórmula: S = (n — 2) × 180° Por exemplo: n = 3 S = (3 — 2) × 180° = 1 × 180° = 180° n = 4 S = (4 — 2) × 180° = 2 × 180° = 360° 1 — Observe que cada um dos polígonos abaixo. Descubra o nome do polígono, o número de lados e a soma das medidas dos ângulos internos de cada um e registre essas informações no quadro abaixo. �� A soma das medidas dos ângulos externos de um polígono convexo é sempre igual a 360°. Na sequência das figuras abaixo, temos um pentágono com seus cinco ângulos externos explicitados. Note que, nessa sequência, o polígono é reduzido proporcionalmente em suas dimensões até se de- generar em um ponto (chamamos esse tipo de transformação de homotetia), ao passo que, os ângulos externos são mantidos ao longo de todo o processo, resultando, ao final, que os ângulos externos, juntos, completam um círculo. Isso ilustra o fato de que a soma dos ângulos externos de um polígono é igual a 360°. � � � � � 2 — Agora, complete as lacunas abaixo para que cada frase fique correta. a) O pentágono é um polígono de lados e de ângulos internos. A soma de seus ângulos internos é graus e a soma de seus ângulos externos é . Se o pentágono for regular, cada ângulo interno mede graus e cada ângulo externo mede graus. b) O hexágono é um polígono de lados e de ângulos internos. A soma de seus ângulos internos é graus e a soma de seus ângulos externos é . Se o hexágono for regular, cada ângulo interno mede graus e cada ângulo externo mede graus. c) O heptágono é um polígono de lados e de ângulos internos. A soma de seus ângulos internos é graus e a soma de seus ângulos externos é . Se heptágono for regular, cada ângulo interno mede graus e cada ângulo externo mede graus. d) O octógono é um polígono de lados e de ângulos internos. A soma de seus ângulos internos é graus e a soma de seus ângulos externos é . Se o octógono for regular, cada ângulo interno mede graus e cada ângulo externo mede graus. e) O decágono é um polígono de lados e de ângulos internos. A soma de seus ângulos internos é graus e a soma de seus ângulos externos é . Se o decágono for regular, cada ângulo interno mede graus e cada ângulo externo mede graus. f) O dodecágono é um polígono de lados e de ângulos internos. A soma de seus ângulos internos é graus e a soma de seus ângulos externos é . Se o dodecágono for regular, cada ângulo interno mede graus e cada ângulo externo mede graus. �� NÚMERO DE DIAGONAIS DE UM POLÍGONO CONVEXO A diagonal de um polígono une dois vértices por meio de um segmento de reta interno à figura. Então, de cada vértice de um polígono convexo de n lados partem (n — 3) diagonais, pois um vértice pode ser conecta- do, por meio de uma diagonal, a todos os outros vértices, menos aos dois adjacentes a ele e a ele próprio. Como são n vértices, o total de diagonais traçadas é, portanto, n (n — 3). Entretanto, nessa contagem, uma mesma diagonal é contada duas vezes. Portanto, o número de diagonais de um polígono convexo de n lados é dado por n (n—3) 2 . 3 — Desenhe as diagonais nos polígonos abaixo e complete as lacunas para cada frase ficar correta. a) O octógono regular de lado medindo 1 cm possui perímetro igual a cm e diagonais. A soma de seus ângulos internos é o e de seus ângulos exter- nos é o. Cada ângulo interno mede o e cada ângulo externo mede o. b) O de 1,5 cm de lado possui perímetro igual a cm e diagonais. A soma de seus ân- gulos internos é o e de seus ângulos externos é o. Cada ângulo interno mede o e cada ângulo externo mede o. c) O triângulo de 3,7 cm de lado possui perímetro igual a cm e não tem diagonal. A soma de seus ân- gulos internos é o e de seus ângulos externos é o. Cada ângulo interno mede o e cada ângulo externo mede o. �� ��Ã�Ç��� UNIDADE(S) TEMÁTICA(S): Geometria. OBJETOS DE CONHECIMENTO: Área e perímetro de figuras planas. HABILIDADE(S): (EF08MA19) Resolver problemas que envolvam medidas de área de figuras planas, utilizando expressões de cálculo de área em polígonos e círculos. CONTEÚDOS RELACIONADOS: Polígonos, apótema, círculos, raios, diâmetro, perímetro e área. INTERDISCIPLINARIDADE: Relacionar os conhecimentos adquiridos com o cotidiano. �����A�A�� POLÍGONO REGULAR E CIRCUNFERÊNCIA Todo polígono regular pode ser circunscrito a uma circunferência. O raio de uma circunferência inscri- ta em um polígono regular corresponde ao apótema (a) do polígono. O apótema é o segmento de reta que une o centro da circunferência inscrita ao polígono regular ao ponto médio de um de seus lados, formando um ângulo reto (90°) com esse lado. 1 — Observe o polígono abaixo circunscrito à circunferência e complete as lacunas corretamente. a) No pentágono regular de 2 cm de lado (perímetro igual a cm e diagonais) o apótema (a) é a medida do raio da circunferência que está inscrita no polígono e pode ser calculada pelos lados e ângulos do triângulo azul da figura. O ângulo x, interno ao triângulo, mede °. A soma dos ângulos internos (i) do polígono é ° e dos ângulos ex- ternos é °. b) Cada ângulo interno (i) mede ° e cada ângulo externo (e) mede °. Observe que a hipotenusa (maior lado do triângulo retângulo azul) é a bissetriz de i. Bissetriz de um ângulo é uma semirreta de origem no vértice desse ângulo, que o divide em dois ângu- los congruentes, ou seja, 54° é o valor do ângulo . c) A distância do centro da circunferência inscrita no polígono até um de seus pontos é o raio (r) dessa circunferência, que, nesse exemplo, corresponde a um valor aproximado de 1,38 cm. � �� O diâmetro é o dobro da medida do raio, sendo igual a cm. Então, a medida do apótema (a) do pentágono regular circunscrito à circunferência é cm. d) Pode-se calcular o valor aproximado do perímetro do círculo (medida do comprimento da circunferência): 2πr = 2 · 3, 14 · 1, 38 = cm e a medida da área desse círculo: πr 2 = 3, 14 · 1, 382 cm2. ÁREA E PERÍMETRO DE POLÍGONOS CIRCUNSCRITOS Os cálculos de medidas de área e de perímetro de figuras planas são utilizados em várias situações do cotidiano.
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