Questão 3
Das alternativas a seguir, marque aquela que é incorreta.
A) A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é sempre igual a 360º.
B) Todo polígono convexo possui diagonal.
C) Um polígono é conhecido como regular quando ele possui todos os lados e ângulos congruentes.
D) Um polígono é convexo quando todos os seus ângulos internos são menores que 180º.
E) O pentágono possui 5 diagonais.
Questão 11
Sobre o conceito de polígono convexo e não convexo, marque a alternativa correta.
A) Um polígono é convexo quando todos os seus lados e também os seus ângulos são congruentes, ou seja, possuem a mesma medida.
B) Um polígono é convexo quando possui diagonais.
C) Um polígono é convexo quando, dados quaisquer dois pontos (A e B) pertencentes ao polígono, o segmento de reta AB também pertence ao polígono.
D) Um polígono é convexo quando a quantidade de diagonais é igual à quantidade de lados.
Respostas
Resposta Questão 1
Alternativa B.
Utilizando a fórmula da diagonal, temos que d = n.
O polígono que possui 5 lados é o pentágono.
Resposta Questão 2
Alternativa E.
Sabemos que os divisores de 70 são:
D(70) = 1, 2, 5, 7,10,14, 35, 70.
Dos valores possíveis, o único que faz com que a equação seja verdadeira é n = 10, pois:
10 · (10 – 3 ) = 10 · 7 = 70
Resposta Questão 3
Alternativa B. O único polígono que não possui diagonal é o triângulo, o que torna a alternativa B a única incorreta.
Resposta Questão 4
Alternativa E. Esse polígono possui oito lados. Para calcular o valor de cada um dos ângulos, vamos utilizar a fórmula da soma dos ângulos internos.
Si = (n – 2) · 180
Si = ( 8 – 2) · 180
Si = 6 · 180
Si = 1080
Como o polígono é regular, todos os ângulos são congruentes, então a medida de cada um é igual a:
1.080 : 8 = 135º
Resposta Questão 5
Alternativa B.
Utilizando a fórmula da soma dos ângulos internos, temos que:
Si = ( n – 2 ) 180
720 = ( n – 2) 180
720 / 180 = n – 2
4 = n – 2
n = 4+2
n = 6
Resposta Questão 6
Alternativa D. A soma dos ângulos externos de um polígono é sempre igual a 360º, então, para descobrir o número de lados, faremos 360 : 20 = 18.
Como esse polígono possui 18 lados, então basta substituir na fórmula das diagonais.
Resposta Questão 7
Alternativa B.
Sabendo que a soma dos ângulos internos é sempre igual a 180º, sejam a, b e c os ângulos internos do triângulo, então:
a + b + c = 180
Por proporção, temos que:
a = 3k
b = 5k
c = 7k
Assim sendo, podemos escrever que:
3k + 5k + 7k = 180
15k = 180
k = 180/ 15
k =12
O maior ângulo é 7k → 7 ·12 = 84.
Resposta Questão 8
Alternativa B.
A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é sempre igual a 360º.
3x – 45 + 2x + 10 + 2x + 15 + x + 20 = 360
8x – 10 = 360
8x = 360
x = 360 : 8
x = 45
O menor ângulo é 45 + 20 = 65º.
Resposta Questão 9
Alternativa C.
Analisando a figura, é possível perceber que ela possui 6 lados. Então, utilizando a fórmula da soma dos ângulos internos, temos que:
Si = ( n – 2 ) 180º
Si = (6 – 2 ) 180º
Si = 4 · 180º
Si = 720º
A medida de um ângulo é, portanto, 720 : 6 = 120º.
Resposta Questão 10
Alternativa D.
35 – 20 = 15
Resposta Questão 11
Alternativa C.
Resposta Questão 12
Alternativa E. Para ser regular, os ângulos e os lados têm que ser congruentes. Dos polígonos listados, o único que é regular é o quadrado, que possui lados e ângulos congruentes.
Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
As duas diagonais de um retângulo.
Uma diagonal de um polígono é um segmento de reta entre dois vértices não consecutivos do polígono.
Cálculo do número de diagonais de um polígono[editar | editar código-fonte]
A fórmula para se calcular a quantidade de diagonais "D" que tem em um polígono de "n" lados é a seguinte:
É necessário realçar que o triângulo não possui diagonais, e o pentágono é o único polígono, cujo número de diagonais é o mesmo que o número de lados.
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Desenvolvendo a fórmula do cálculo do número de diagonais de um polígono[editar | editar código-fonte]
Tendo o retângulo acima como base para o estudo da fórmula, isolamos (limitamos nossa atenção) a um dos vértices, tomemos, por exemplo, o vértice A. Para esse vértice, somente é possível fazer diagonal com outro vértice não adjacente a ele, nesse caso, o vértice C. Os vértices B e D devem ser desconsiderados pois formam com o A dois dos lados do polígono.
Criamos uma fórmula que descreva a afirmação anterior:
Seja P o número de diagonais possíveis ao vértice A, desconsiderando os 3 (três) vértices com os quais não é possível ligar uma diagonal, a saber: B, D e o próprio A.
Onde 'n' é o número de vértices do polígono.
Aplicando essa fórmula ao retângulo acima, temos: portanto, para o vértice A uma só diagonal.
Se temos uma fórmula que calcula o número de diagonais para um vértice do polígono, bastaria então multiplicar essa fórmula pelo número de vértices desse polígono para aplicá-la aos outros vértices, porém, o que se observa é que o resultado será sempre o dobro do número de diagonais do polígono, veja:
Isso se deve ao fato que uma diagonal é sempre "compartilhada" por dois vértices, daí a necessidade de se dividir por 2. Então:
ou ainda:
Fica fácil agora entender matematicamente o porquê do triângulo não ter diagonais, uma vez que serão desconsiderados sempre 3 vértices: o próprio e os dois adjacentes.
Combinatoriamente, também é possível calcular o número de diagonais mediante o seguinte raciocínio:
Para cada par de pontos, existe um segmento de reta que os contém. Assim, a combinação de n vértices dois a dois fornece o número de segmentos possíveis entre dois vértices do polígono - há de se retirar, obviamente, o número de lados do polígono, pois estes também são segmentos possíveis entre dois vértices. Assim, temos: