Qual é o resultado de menos 36 dividido por menos 9? O curioso cálculo de
(-3 6) : (- 9) = + 4 exige o conhecimento das regras dos sinais. Na maioria dos casos, somos obrigados a decorar. Mas por quê? Que tal uma estratégia para entender esse tipo de regra a partir de um problema?
Vamos imaginar uma pequena empresa com três sócios, que, infelizmente, tem uma dívida de 12.000 reais. Essa dívida é representada pelo sinal negativo e cabe para cada sócio a responsabilidade de assumir uma parte da dívida, dividindo-a em três partes iguais:
(- 12000 ) : 3 = - 4000
Menos doze mil reais dividido em três tem como resultado menos quatro mil reais para cada sócio. Como o divisor é positivo, indicando o número de partes, podemos construir a primeira regra: um número negativo dividido por um número positivo tem como resultado um número negativo.
Assim, poderemos lembrar desse problema como um bom modelo para outros casos semelhantes, em que há necessidade de aplicação desse tipo de regra. Uma outra observação que é importante, e que não podemos deixar de citar, é a de que, no registro de um número positivo, a utilização ou não do sinal é optativa:
(- 36): 2 = - 18 pode ser escrito como (- 36): (+ 2) = -1 8
Para avançarmos mais nesse jogo entre os sinais - na divisão entre dois números -, vamos analisar a operação da divisão em que, ao multiplicarmos o quociente pelo divisor, obtemos sempre o valor do dividendo (se o resto for igual a zero). Essa propriedade facilita a verificação de mais uma regra do sinal; só que, nesse caso, para a operação da multiplicação.
Ainda utilizando o nosso exemplo, do endividamento dos sócios, mostramos que a multiplicação entre um número negativo e um número positivo tem como resultado um número negativo:
(- 12000 ): 3 = - 4000 ==> (- 4000)x 3 = - 12000
Nessa manobra de invertermos a operação, confirmamos que esse tipo de regra pode ser aplicada tanto na divisão como na multiplicação.
Explorando esse mesmo exemplo, podemos apresentar uma outra regra importante para a operação da divisão. Para isso, fazemos uma nova inversão, agora transformando a operação da multiplicação novamente em divisão. Essa inversão poderia ser substituída pela pergunta: Quantas partes de - 4000 cabem em - 12000?
(- 12000) : ( - 4000) = 3
A consequência de ter o resultado positivo igual a 3 ou + 3 é demonstrada ao dividirmos o dividendo pelo quociente, obtendo o divisor, que indica o número de partes.
Assim, fica demonstrada mais uma regra: ao dividirmos dois números negativos obtemos um número positivo.
Depois da demonstração dessas duas regras - uma, de dividir um número negativo por um número positivo; e outra, relacionada à divisão entre dois números negativos -, vamos a uma terceira regra, que é a mais fácil e conhecida: a de divisão entre dois números positivos, tendo como resultado um número positivo.
Essa regra não causa nenhuma surpresa, já que estamos bastante acostumados com esse tipo de operação, dividindo os números naturais que representam as quantidades positivas e inteiras do mundo em que estamos inseridos. É somente uma questão de convenção a utilização ou não do sinal. Em vez de escrevermos 36 : 4 = 9 podemos adotar um outro formato, com o mesmo valor e significado, fazendo: (+36): (+ 4) = (+ 9). O número inteiro positivo é equivalente ao número natural.
Essas três regras, apresentadas até aqui, são muito importantes para o cálculo da divisão com números negativos e positivos. E muitas vezes nos atrapalham, produzindo confusões e, se não soubermos interpretá-las, fazendo com que deixemos escapar a solução correta de um determinado cálculo.
Portanto, na insegurança da aplicação dessas regras, lembre do problema do endividamento dos três sócios. É uma demonstração não somente das regras, mas, principalmente, de que é a partir dos problemas que descobrimos a melhor forma de aprendermos matemática.
Quando vamos realizar alguma operação (soma, subtração, multiplicação ou divisão) que envolva números negativos, é preciso estar atento em qual será o sinal do resultado para não cometer nenhum erro. Vamos te ajudar a entender como essas regras funcionam. É uma regra que te diz qual o sinal do número resultante de uma operação matemática, podendo o resultado ser positivo, negativo ou nulo. Ela serve para que não haja confusão nas operações matemáticas realizadas, principalmente naquelas que
envolvem números negativos. Uma coisa importante para se entender as regras de sinais é o módulo de um número, que nada mais é do que o valor do número sem o sinal, por exemplo: Outro modo de escrever isso é da forma |-5| = 5 (O módulo de -5 é 5). 📚 Você vai prestar o Enem? Estude de graça com o Plano de Estudo Enem De Boa 📚 Ao somarmos dois números de
mesmo sinal, estamos aumentando o módulo do resultado. Pense assim: “a soma de dois números positivos, torna o resultado ainda mais positivo” e “a soma de dois números negativos, torna o resultado ainda mais negativo”. Neste último caso, podemos pensar como o aumento de uma dívida. Ao se somar dois números positivos fazemos
a soma normalmente. Por exemplo: Índice
Introdução
O que é a Regra de Sinais?
Para que serve a Regra de Sinais?
Módulo de um número
Soma de números de mesmo sinal
Soma de dois números positivos
- 5 + 3 = 8
- 7 + 9 = 16
Soma de um número positivo com um número negativo
Quando somamos um número positivo a um negativo, estamos, na verdade, subtraindo o módulo daquele número, por exemplo:
- 5 + (-2) = 5 - 2 = 3
Veja que ao se somar o -2 ao 5, estamos subtraindo 2 de 5. Outro exemplo nos mostra que essa soma pode ser negativa:
- 2 + (-5) = 2 - 5 = -3
Ao somarmos um número positivo com um negativo, o sinal do resultado será o sinal do número de maior módulos, por exemplo:
- Se Maria está com 10 reais negativos na conta e deposita 7 reais, ela ficará com 3 reais negativos na conta. Isso ocorre pois no começo, Maria estava com -10 reais, então ela adicionou +7 reais à conta, resultando em -3 reais na conta, ou seja, -10 + 7 = -3.
- 2 + (-7) = -5
- (-4) + 8 = 4
Soma de dois números negativos
Ao se somar dois números negativos, o resultado sempre será o negativo da soma dos módulos, por exemplo:
- -3 + (-4) = -(3 + 4) = -7 (devo 3 e devo mais 4, logo devo 7)
- -5 + (-8) = -(5 + 8) = -13 (devo 5 e devo mais 8, logo devo 13)
Exemplo: A conta bancária de Maria não anda nada bem. Ela está com uma dívida de R$200,00 e ainda precisará pagar um boleto de R$50,00 para fechar o mês. Qual o será o saldo da conta bancária de Maria após o pagamento do boleto?
Resolução: Adicionando 50 reais na dívida de 200, temos uma dívida de 250 reais. De um modo mais esquemático, podemos pensar assim:
- 200 + (-50) = - 250.
Soma de números de sinais diferentes
Soma de um número positivo com um número negativo
Neste caso, vale a regra de que se faz a diferença entre os módulos dos números e o resultado tem o mesmo sinal daquele que tem o maior módulo. Por exemplo:
- 7 + (-5) = 2 (já que 7 - 5 = 2 e 7 é maior que 5, sendo o resultado positivo)
- 7 + (-9) = -2 (já que 9 - 7 = 2 e 9 é maior que 7, sendo o resultado negativo)
- -4 + 5 = 1 (já que 5 - 4 = 1 e 5 é maior que 4, sendo o resultado positivo)
- -5 + 4 = -1 (já que 5 - 4 = 1 e 5 é maior que 4, sendo o resultado negativo)
- -2 + 2 = 0 (já que 2 - 2 = 0)
Também podemos pensar que quando somamos um número positivo a um negativo, estamos, na verdade, subtraindo o módulo daquele número, por exemplo:
- 5 + (-2) = 5 - 2 = 3
Veja que ao se somar o -2 ao 5, estamos subtraindo 2 de 5. Outro exemplo nos mostra que essa soma pode ser negativa:
- 2 + (-5) = 2 - 5 = -3 (imagine que você tinha 2 reais e, ao comprar algo de 5 reais, fica com uma dívida de 3 reais)
Ao somarmos um número positivo com um negativo, o sinal do resultado será o sinal do número de maior módulo! Por exemplo:
- Se Maria está com 10 reais negativos na conta e deposita 7 reais, ela ficará com 3 reais negativos na conta. Isso ocorre, pois, no começo, Maria estava com -10 reais, então ela adicionou +7 reais à conta, resultando em -3 reais na conta, ou seja, -10 + 7 = -3.
- 2 + (-7) = -5
- (-4) + 8 = 4
Subtração envolvendo números negativos
Podemos pensar na subtração como a operação inversa da adição. Desta forma, somar um número negativo é equivalente a subtrair um número positivo. Por exemplo:
- 7 + (-5) = 7 - 5 = 2
- 1 + (-5) = 1 - 5 = -4
- -7 + (-5) = -7 - 5 = -12
A escrita -(-1) pode ser interpretada como o oposto de -1, ou seja, 1. Assim, no momento que vamos subtrair um número negativo, a ideia é equivalente a somar um número positivo. Por exemplo:
- 7 - (-4) = 7 + 4 = 11
- -1 - (-5) = -1 + 5 = 4
- -10 - (-2) = -10 + 2 = -8
Multiplicação de números de mesmo sinal
A multiplicação de dois números de mesmo sinal sempre resulta em um número positivo. Veja os casos a seguir:
Multiplicação de dois números positivos
Ao multiplicardois números positivos, fazemos a multiplicação normalmente. Por exemplo:
- 5 ⋅ 3 = 15
- 7 ⋅ 9 = 63
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Multiplicação de dois números negativos
A multiplicação de dois números negativos sempre resulta em um número positivo e o módulo do resultado é a multiplicação dos módulos, por exemplo:
- (−4)⋅(−3)=+(4⋅3)=12
- (−8)⋅(−5)=+(8⋅5)=40
- (−6)⋅(−7)=+(6⋅7)=42
Multiplicação de números com sinais diferentes
Multiplicação de um número positivo com um número negativo
A multiplicação de um número positivo com um número negativo sempre resulta em um número negativo, e o módulo do resultado é a multiplicação dos módulos, por exemplo:
- 7⋅(−2)=−(7⋅2)=−14
- 5⋅(−4)=−(5⋅4)=−20
- −7⋅8=−(7⋅8)=−56
Divisão de números de mesmo sinal
Neste caso, aplicam-se as mesmas regras da multiplicação vistas anteriormente.
Divisão de dois números positivos
Ao dividir dois números positivos, fazemos a divisão normalmente. Por exemplo:
- 15 : 3 = 5
- 63 : 9 = 7
Divisão de dois números negativos
A divisão de dois números negativos sempre resulta em um número positivo e o módulo do resultado é a divisão dos módulos, por exemplo:
- (−14) : (−2) = + (14 : 2) = 7
- (−18) : (−5) = + (18 : 5) = 3,6
- (−1) : (−3) = + (1 : 3) = 0,333…
Divisão de números com sinais opostos
Divisão de um número positivo por um número negativo ou de um número negativo por um número positivo
A divisão de um número positivo por um número negativo ou de um número negativo por um número positivo sempre resulta em um número negativo, e o módulo do resultado é a divisão dos módulos, por exemplo:
- 15 : (−3) = − (15 : 3) = −5
- 7 : (−2) = − (7 : 2) = −3,5
- −7 : 7 = − (7 : 7) = −1
Resumo
- Ao se somar dois números de mesmo sinal, some os módulos e mantenha o sinal;
- Ao se somar dois números de sinais diferentes o sinal do maior módulo permanece;
- Ao se subtrair um número, podemos pensar que estamos somando o oposto deste número e usar a mesma regra da adição.
- Ao se multiplicar dois números com mesmo sinal o resultado será positivo;
- Ao se multiplicar dois números de sinais opostos o resultado será negativo.
- Ao se dividir dois números com mesmo sinal o resultado será positivo;
- Ao se dividir dois números de sinais opostos o resultado será negativo.
Por que menos com menos dá mais?
Esta é uma pergunta que muitos alunos fazem e ela deve ser respondida com muito cuidado. Primeiramente, porque nem sempre “menos com menos dá mais”. Pense na seguinte operação: - 4 - 7 = - 11. Evidentemente, aqui estamos subtraindo 7 de -4, o que resultaria em -11, que é um número negativo.
Quando se faz esta pergunta, geralmente o que se busca é uma resposta para “Por que um número negativo vezes outro número negativo resulta em um número positivo?”. Neste caso, sem entrar em grandes formalizações matemáticas, trazemos algumas possíveis abordagens.
1ª) Uma maneira de pensar em como esses resultados fazem sentido pode ser imaginando o seguinte problema: “Qual seria o dobro de uma dívida de 7 reais?” De imediato, pensamos em uma dívida de 14 reais. Logo, teríamos que 2 ⋅ (-7) = -14, trazendo uma conclusão imediata que um número positivo vezes um número negativo deve resultar em um número negativo.
Para que as operações matemáticas tenham sentido, podemos pensar na continuação da seguinte sequência de operações:
3 ⋅ (-5) = -15
2 ⋅ (-5) = -10
1 ⋅ (-5) = -5
0 ⋅ (-5) = 0
-1 ⋅ (-5) = ?
-2 ⋅ (-5) = ?
-3 ⋅ (-5) = ?
Note que os resultados aumentam de 5 em 5, o que tornaria lógico dizermos que:
-1 ⋅ (-5) = 5
-2 ⋅ (-5) = 10
-3 ⋅ (-5) = 15
Além disso, o sinal negativo na frente do primeiro número também traz a ideia de oposto, ou seja, o oposto de 1 ⋅ (-5) é -1 ⋅ (-5) e, como 1 ⋅ (-5) = -5, então -1 ⋅ (-5) = 5.
2ª) Outro argumento utiliza a validade da propriedade distributiva. Vejamos no seguinte exemplo. Sabemos que todo número vezes zero dá zero, logo:
(-3) ⋅ 0 = 0
Zero pode ser escrito como a soma de um número com seu oposto, no caso vamos trocar o zero por -2 + 2.
(-3) ⋅ (-2 + 2) = 0
Utilizando a propriedade distributiva, temos:
(-3) ⋅ (-2) + (-3) ⋅ 2 = 0
Já é conhecido que (-3) ⋅ 2 = -6. Assim:
(-3) ⋅ (-2) + (-6) = 0
Que número somado com (-6) resulta em zero? O número seis. Logo (-3) ⋅ (-2) = 6.
3ª) Outra interpretação possível para a multiplicação está relacionada com a reta numérica. Multiplicar um número por -1 dá como resultado o oposto deste número.
Fazendo -1 ⋅ 2, teríamos:
Ou seja, -1 ⋅ 2 = -2.
E se fizermos (-1) ⋅ (-2)? Utilizando o mesmo raciocínio, teríamos:
Ou seja, (-1) ⋅ (-2) = 2.
Generalizando este raciocínio, chegamos à conclusão que a multiplicação de dois números negativos deve resultar em um número positivo.
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Exercício de fixação
Quero Bolsa
Escolha a alternativa correta:
A Um número negativo multiplicado por outro número negativo resulta em um número negativo.
B Um número positivo multiplicado por outro número positivo resulta em um número negativo.
C Um número negativo multiplicado por um número negativo resulta em um número positivo.
D Um número positivo multiplicado por um número negativo resulta em um número positivo.