Sistemas 2 x 2
Apresentam duas equações e duas incógnitas, com a seguinte estrutura geral
Discussão de Sistemas 2 x 2
Cada linha do sistema geometricamente representa uma reta no plano cartesiano. Então podemos ter:
Sistema Possível e Determinado:
Geometricamente representa retas concorrentes, onde há um ponto (x0, y0) de intersecção que é solução única do sistema.
Sistema Possível e Indeterminado:
Geometricamente representa retas coincidentes, onde infinitos pontos comuns fazem parte do conjunto solu-ção do sistema.
Sistema Impossível:
Geometricamente representa retas paralelas, onde não há nenhum ponto solução do sistema.
(PUC-RJ) Ache os valores de a e b para que o sistema
tenha mais de uma solução.
Sistemas 3 x 3 ou superiores
Sistema Escalonado
É o sistema que satisfaz as duas condições abaixo:
1º) Em cada equação, há pelo menos um coeficiente não-nulo;
2º) O número de
coeficientes iniciais nulos aumenta de uma equação para outra.
Procedimentos para escalonar (resolver) o sistema
1º) Coloca-se como 1ª equação do sistema uma equação em que o coeficiente da 1ª incógnita seja um;
2º) A partir da 2ª equação, elimina-se a 1ª incógnita de todas as equações operando entre as linhas;
3º) A partir da 2ª equação repetem-se os “passos” para as equações restantes, até a última linha do sistema.
Exemplo: Resolva o sistema:
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Solução: Aplicamos -2L1 + L2 e -3L1 + L3 para eliminar x da segunda e terceira equações, e -4L2 + 3L3 para eliminar y da terceira equação.
O resultado final é o sistema escalonado
(FUVEST)
Então, x + y + z é igual a:
a) -2
b) -1
c) 0
d) 1
e) 2
Solução: Fazendo L1 – L2 na segunda linha e L2 – 3L3 na terceira linha do sistema teremos:
Resolvendo o sistema x = 1, y = 3 e z = -2, com x + y + z = 1 + 3 – 2 = 2
Letra e)
Discussão de Sistemas 3 x 3
Seja D o determinante da matriz obtida dos coe-ficientes das incógnitas. Então temos:
Sistema Possível e Determinado: det D diferente 0
Sistema Possível e Indeterminado ou
Sistema Impossível: det D = 0
Macete! Caso resolva uma questão de múltipla esco-lha, aplique determinante para discutir o sistema. Caso discursiva, procure usar a técnica do escalona-mento, por ser uma resolução mais “refinada”, e portanto muito mais valorizada pela banca corretora.
Dica! Sistema Homogêneo é quando todos os termos independentes das equações são nulos (todas as equações do sistema terminam em zero).
Um
sistema homogêneo nunca será impossível, pois sempre admitirá pelo menos a solução trivial (todas as incógnitas iguais a zero).
Logo, sistema homogêneo ou é possível determinado (apenas a solução trivial) ou é possível indeterminado (tem a solução trivial e mais outras).
(UFJF) O sistema x + y + z = 0; x – my + z = 0; mx + y + z = 0 admite solução não nula se, e somente:
a) m = 1
b) m = -1
c) m = 1 ou m = -1
d) m = 0
Solução: Admitir solução não nula significa possuir soluções além da trivial (0,0,0); logo para sistema possível indeterminado teremos det D = 0; calculando:
Letra c)
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- Sistemas Lineares