Fatorial !!
Assuntos matemáticos relacionados ao ensino médio.
Moderadores: Helio Carvalho, Paulo Testoni, Elcioschin
Fatorial !!
1- Simplificando (n+1)!+n!/(n+2)!,N e IN.
2-Considere a palavra BATISMO.Quantos anagramas em que as vogais permanecem nas respectivas posições?
3-Considere a palavra EDITORA.Quantos anagramas possuem vogais e consoantes alternadas?
Não consigo realizar esses calculos
babiraposo Mensagens: 8Registrado: Quinta Out 08, 2009 8:07 pmRe: Fatorial !!
por Alves Souza » Sexta Out 09, 2009 12:43 am
1)
[(n+1)!+n!]/(n+2)!=[(n+1)*n!+n!]/(n+2)*(n+1)*n!=n!*[(n+1)+1]/[(n+2)*(n+1)*]n!=[n+2]/[(n+2)*(n+1)]=1/(n+1)
2)Coloque as vogais em suas posições.
_A_I_ _ O===>temos (BTSM)Quatro consoante para permutar
4!=24
3)
Coloque as vogais
E_I_O_A as vogais e consoante podem permutarem entre si 4!*3!=24*6=144
"A natureza e suas leis escondiam-se na escuridão. Deus disse 'Faça-se Newton! E tudo se iluminou."
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Quantos são os anagramas a palavra "CAPÍTULO".
a) possíveis?
b) que comecem e terminem por vogal?
c) que têm as vogais e as consoantes intercaladas?
d) que têm as letras c, a, p juntas nessa ordem?
e) que têm as letras c, a, p juntas em qualquer ordem?
f) que têm a palavra p em primeiro lugar e a letra a em segundo?
g) que têm a letra p em primeiro lugar ou a letra a em segundo?
h) que têm a letra p em primeiro lugar ou a em segundo ou c em terceiro?
i) nos quais a letra a é uma das letras à esquerda de p e a letra c é uma das letras à direita de p?
Resolução:
Quantos são os anagramas a palavra "CAPÍTULO".
a) possíveis?
Não tem letras repetidas. Fatorial de 8!
8.7.6.5.4.3.2.1 = 40.320.
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b) que comecem e terminem por vogal?
_ _ _ _ _ _ _ _
a.b.c.d.e. f.g. h
Vamos começar pelas restrições:
a= 4 : só pode ser vogal: temos 4 opções.
h = 3 : só pode terminar com vogal. Se escolhemos 1 vogal e a, sobraram 3.
b = 6 (deveriam ser 8, mas escolhemos a e h)
c = 5
d = 4
e = 3
f = 2
g = 1
Temos, então: 4.6.5.4.3.2.1.3 ou 3.4.6! = 8.640 anagramas começando e terminando por vogais.
_______________________________________________________________________________
c) que têm as vogais e as consoantes intercaladas?
_ _ _ _ _ _ _ _
a.b.c.d.e.f. g. h
a = 4 : seja o início com vogais.
b = 4 : se o início foi com vogais, temos agora 4 consoantes.
c = 3 : Aqui será vogal. Eram 4, mas colocamos 1 em a, ficando 3.
d = 3
e = 2
f = 2
g = 1
h = 1
Temos: 4.4.3.3.2.2.1.1 = 576 anagramas começando com vogais.
Mas, teremos mais 576 anagramas começando com consoantes.
Assim, temos como total de anagramas 576 + 576 = 1.152 anagramas.
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d) que têm as letras c, a, p juntas nessa ordem?
_ _ _ _ _ _ _ _
Letras juntas, juntamos as lacunas e as letras.
CAP - I - T U - L - O
______ _ _ _ _ _
a b c d e f
a: Temos 6 opções, já que juntamos as letras.
b: aqui ficaram 5, já que colocamos 1 opção em a.
c: 4
d: 3
e: 2
f: 1
Fica: 6.5.4.3.2.1 = 720 anagramas.
_______________________________________________________________________________
e) que têm as letras c, a, p juntas em qualquer ordem?
No caso acima, achamos 720 anagramas na ordem cap.
Agora, não importa a ordem. Logo, temos 720 para cap, 720 para cpa, 720 para acp, 720 para apc, 720 para pac e 720 para pca, ou seja, temos 720 x 6 = 4.320 anagramas.
Ou,
Quando temos anagramas com letras juntas em qualquer ordem, calculamos a quantidade normal e depois multiplicamos pelo fatorial das letras juntas.
Neste caso, temos
e 3 letras. Multiplicaremos por 3! = 6
O normal é 6! = 720
720 x 6 = 4320
_______________________________________________________________________________
f) que têm a palavra p em primeiro lugar e a letra a em segundo?
p a _ _ _ _ _ _
a.b.c.d.e.f
a = 6 opções, já que 2 delas já foram usadas.
b = 5
c = 4
d = 3
e = 2
f = 1
Fica: 6.5.4.3.2.1 = 720 anagramas.
_______________________________________________________________________________
g) que têm a letra p em primeiro lugar ou a letra a em segundo?
Neste caso, apareceu a palavrinha OU, ao invés de E.
Vamos fazer com a letra p em primeiro lugar:
p _ _ _ _ _ _ _
7.6.5.4.3.2.1 = 5.040.
Em seguida, vamos fazer com a letra a em segundo:
_ a _ _ _ _ _ _
7.1.6.5.4.3.2.1 = 5040.
Somando os dois, temos 5040 + 5040 = 10.080.
Perceba que quando começou com p, tivemos 5040 anagramas, incluindo p a _ _ _ _ _ _, que começa com p.
Quando fizemos com a em segundo, tivemos, também, p a _ _ _ _ _ _, que tem a em segundo.
Assim, contamos duas vezes a opção p a _ _ _ _ _ _.
Logo, desses 10.080 anagramas, temos que uma das opções p a _ _ _ _ _ _, que foi cotado duas vezes.
Mas, quantas são essas opções?
p a _ _ _ _ _ _
6.5.4.3.2.1 = 720.
Assim, 10.080 - 720 = 9.360 anagramas.
_______________________________________________________________________________
h) que têm a letra p em primeiro lugar ou a em segundo ou c em terceiro?
Aqui teremos 3 contas:
p em primeiro lugar:
p _ _ _ _ _ _ _
7.6.5.4.3.2.1 = 5.040
a em segundo lugar:
_ a _ _ _ _ _ _
7.1.6.5.4.3.2.1 = 5.040
c em terceiro lugar:
_ _ c _ _ _ _ _
7.6.1.5.4.3.2.1 = 5.040
Somando as três, temos 5.040 + 5.040 + 5.040 = 15.120.
Da mesma forma que o exercício anterior, tem anagramas dentre esses 15.120 que foram contados mais de uma vez:
p a _ _ _ _ _ _
6.5.4.3.2.1 = 720
p _ c _ _ _ _ _
6.1.5.4.3.2.1 = 720
_ a c _ _ _ _ _
6.1.1.5.4.3.2.1 = 720
Só aqui temos 720 x 3 = 2.160 anagramas repetidos.
15.120 - 2.160 = 12.960 anagramas.
Observe que, ao tirar p a _ _ _ _ _ _, acabamos tirando o p a c _ _ _ _ _ , por isso, tendo que devolver.
Mas, quanto é p a c _ _ _ _ _ ?
p a c _ _ _ _ _
5.4.3.2.1 = 120
Tínhamos 12.960 anagramas, devolvendo 120, ficamos com 13.080 anagramas!
______________________________________________________________________________
i) nos quais a letra a é uma das letras à esquerda de p e a letra c é uma das letras à direita de p?
C - A - P - I - T - U L - O
_ _ _ _ _ _ _ _
a.b.c.d.e.f.g. h
Quero A P C
Considerando P:
em a: não pode, pois deve ter A à sua esquerda.
em b: neste caso, temos:
A P _ _ _ _ _ _
6.5.4.3.2.1 = 720 anagramas
em c: fica assim:
A _ P _ _ _ _ _ ou _ A P _ _ _ _ _
1.5.1.5.4.3.2.1 5.1.1.5.4.3.2.1 = 1200 anagramas.
Observe que C não pode estar à esquerda de P.
em d: fica:
A _ _ P _ _ _ _ ou _ A _ P _ _ _ _ ou _ _ A P _ _ _ _
5.4.1.4.3.2.1 5.1.4.1.4.3.2.1 5.4.1.1.4.3.2.1 = 1440 anagramas
em e: fica
A _ _ _ P _ _ _ ou _ A _ _ P _ _ _ ou _ _ A _ P _ _ _ ou _ _ _ A P _ _ _
5.4.3.1.3.2.1. 5.1.4.3.1.3.2.1 5.4.1.3.1.3.2. 1 5.4.3.1.1.3.2.1 = 1440 anagramas
em f:
A _ _ _ _ P _ _ ou _ A _ _ _ P _ _ ou _ _ A _ _ P _ _ ou _ _ _ A _ P _ _ ou _ _ _ _ A P _ _
5.4.3.2.1.2.1 5.1. 4.3.2.1.2.1 5.4.1.3.2.1.2.1 5.4.3.1.2. 1.2.1 5.4.3.2.1.1. 2.1
totalizando 1200 anagramas
em g:
A _ _ _ _ _ P _ ou _ A _ _ _ _ P _ ou _ _ A _ _ _ P _ ou _ _ _ A _ _ P _ ou _ _ _ _ A _ P _
5.4.3.2.1.1.1 5.1.4.3.2.1.1.1 5.4.1.3.2.1.1.1 5.4.3.1.2.1.1.1 5.4.3.2.1.1.1.1
ou _ _ _ _ _ A P _
5.4.3.2.1.1.1.1 = 720 anagramas.
em h:
P não pode ficar em h, pois o C não poderia estar à sua direita.
Observe que, juntando todas as opções, temos:
a: zero
b: 720
c: 1200
d: 1440
e: 1440
f: 1200
g: 720
h: zero
Somando, fica: 720 + 1200 + 1440 + 1440 + 1200 + 720 = 6.720 anagramas.