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ANÁLISE COMBINATÓRIA MÓDULO 6 | ANÁLISE COMBINATÓRIA CONTAGEM Os problemas de contagem são frequentes no nosso cotidiano. Estão presentes, por exemplo, quando pensamos nas possibilidades de combinação de roupas, de planejamento de pratos em cardápios ou de combinações de números em um jogo de loteria. A análise combinatória é o campo de estudo que desenvolve métodos para fazer a contagem, de modo eficiente, do número de elementos de um conjunto. Associada à probabilidade e à estatística, a Análise combinatória constitui um poderoso instru- mento de antecipação de resultados nos campos industrial, comercial, científico ou governamental. FATORIAL (!) Muitos problemas de análise combinatória devem ser resolvidos com uma multiplicação de números naturais consecutivos, como 1 . 2 . 3 ou 5 . 4 . 3 . 2 . 1. Nesses exemplos, multiplicamos os números natu- rais de 1 até n, sendo no primeiro caso n = 3 e, no segundo, n = 5. Em geral, produtos do tipo 1 . 2 . 3 ..... (n – 1) . n são escritos com a notação de fatorial (!). Dado um número natural n (n > 1), define-se n fato- rial ou fatorial de n (indicado por n!) como sendo o produto dos n números naturais consecutivos, escritos desde n até 1. EXEMPLO 3! = 3 . 2 . 1 = 6 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 CONVENÇÃO O fatorial de 1 é igual ao próprio 1 → 1! = 1 O fatorial de zero é igual a 1 → 0! = 1 ATENÇÃO! Só existe fatorial de números inteiros positivos! (-5)! = NÃO EXISTE -(5)! = -1(5.4.3.2.1) = -120 O cálculo de n! fica complicado a medida que o número n aumenta. Por isso, podemos interromper (truncar) a qualquer momento, desde que colocado o símbolo ! depois do número. EXEMPLO 15! 15 . 14 . 13 . 12! 15 . 14 . 13 = 2730 12! 12! (n + 1)! (n + 1) . n (n – 1)! (n – 1)! (n + 1) . n . (n – 1)! PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO Uma pessoa quer viajar de Porto Alegre a Recife, passando por São Paulo. Sabendo que há 3 roteiros diferentes para chegar a São Paulo partindo de Porto Alegre e 4 roteiros diferentes para chegar a Recife partindo de São Paulo, de quantas maneiras possíveis essa pessoa poderá viajar de Recife a Porto Alegre? ANÁLISE COMBINATÓRIA Se um evento é composto por duas (ou mais) etapas sucessivas e independentes de tal maneira que o número de possibilidades na primeira etapa é m e o número de possibilidades na segunda etapa é n, então o número total de possibilidades de o evento ocorrer é dado pelo produto m . n. PERMUTAÇÃO SIMPLES Dado um conjunto de n elementos, chama-se permu- tação simples dos n elementos qualquer sequência (agrupamento ordenado) desses n elementos, difer- indo apenas pela ordem dos elementos. Para deter- minar o número de permutações em um grupo com n elementos, basta calcular o fatorial desse n. EXEMPLO Gui, Bussunda e JowJow vão posar para uma fotografia. De quantas maneiras essa fotografia pode ser tirada: P3 = 3! = 3 . 2 . 1 = 6 ANAGRAMAS São palavras obtidas a partir de outra, quando se trocam as posições de suas letras, não importando se essas palavras tenham sentido ou não. EXEMPLO Quantos são os anagramas da palavra AMOR? A M O R = 4 letras não repetidas P4 = 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24 anagramas PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO Para os cálculos de permutação de n elementos, dos quais k são repetidos, utilizaremos a seguinte fórmula, onde n é o número total de elementos a ser permutados e n1, n2, …, nk os elementos repetidos. ARRANJO SIMPLES São agrupamentos em que se considera a ordem dos elementos, isto é, qualquer mudança na ordem dos elementos altera o agrupamento. Por exemplo, ao formar números naturais de 3 algar- ismos distintos escolhido entre os algarismos 2, 4, 6, 7 e 8, estaremos arranjando esses 5 algarismos 3 a 3. Por exemplo, o número 246 é diferente de 642. Note que os algarismos são os mesmos, mas diferem pela ordem. Dado um conjunto de n elementos distintos, chama-se arranjo dos n elementos, tomados de p a p, (n ≥ p) a qualquer sequência ordenada de p elementos distintos escolhidos entre os n existentes. OS ELEMENTOS DOS ARRANJOS DIFEREM PELA ORDEM! Geralmente usamos arranjo nos problemas envol- vendo senhas, formação de números, grupos de pessoas com cargos, placas, números de telefone. PERMUTAÇÃO é um caso particular do arranjo, assim, qualquer problema que envolva permu- tações ou arranjo simples pode ser resolvido dire- tamente pelo princípio multiplicativo. COMBINAÇÃO SIMPLES São agrupamentos em que não se considera a ordem dos elementos, isto é, mudanças na ordem dos elementos não alteram o agrupamento. Por exemplo, ao formar conjuntos de números naturais de 3 algarismos distintos, escolhido entre os algar- ismos 2, 4, 6, 7 e 8, estaremos combinando esses 5 algarismos 3 a 3. Por exemplo, o conjunto {2, 4, 6} é igual ao conjunto {6, 4, 2}. Note que a ordem dos algarismos mudou, mas o conjunto é o mesmo, ou seja, os elementos não diferem pela ordem. Pn = n! Pn n1,…nk n! n1! . n2! … nk! An,p n! (n – p)! Dado um conjunto A com n elementos distintos, chama-se combinação dos n elementos de A, tomados p a p, ( n p), qualquer subconjunto de A formado por p elementos. OS ELEMENTOS DAS COMBINAÇÕES NÃO DIFEREM PELA ORDEM! Geralmente usamos combinação nos problemas envolvendo conjuntos, figuras planas, grupos de pessoas sem cargos, loterias. ATENÇÃO! Não confunda quando usar a permutação, o arranjo ou a combinação. Como exemplo, vamos considerar o conjunto das vogais {A, E, I, O, U}. 1 De quantas maneiras podemos alinhar as 5 vogais? A E I O U ou A I E U O ou O A I E U Repare que estamos trabalhando com todos os elementos do grupo, ou seja, formando outras configurações a partir da troca de posição dos elementos. Nesse caso usamos a PERMUTAÇÃO. 2 Quantos subconjuntos de 3 vogais distintas podemos formar? {A, E, I} ou {A, I, E} ou {I, E, A} Repare que estamos escolhendo apenas uma parte do grupo de vogais para formar subcon- juntos com 3 vogais distintas e, quando permu- tados dentro do agrupamento, NÃO forma uma nova configuração, ou seja, os agrupamentos NÃO DIFEREM pela ordem dos elementos no grupo. Nesse caso, usamos a COMBINAÇÃO. 3 Quantos anagramas de 3 vogais distintas podemos formar? AEI ou AIE ou IEA Repare que estamos escolhendo apenas uma parte do grupo de vogais para formar anagramas com 3 vogais distintas e, quando permutadas dentro do agrupamento, FORMA uma nova configuração, ou seja, os agrupamentos DIFEREM pela ordem dos elementos no grupo. Nesse caso, usamos o ARRANJO. Cn,p n! (n – p)! . p! 1. (UCPEL) Alterando-se as posições das letras da palavra JANEIRO, o número de permutações obtidas, nas quais as vogais aparecem sempre juntas é: a) 5040 b) 576 c) 288 d) 144 e) 24 2. (UNESP) Quatro amigos, Pedro, Luísa, João e Rita, vão ao cinema, sentando-se em lugares consecu- tivos na mesma fila. O número de maneiras que os quatro podem ficar dispostos de forma que Pedro e Luísa fiquem sempre juntos e João e Rita fiquem sempre juntos é a) 2 b) 4 c) 8 d) 16 e) 24 3. (FURG/2008) Manoela decidiu escolher uma senha para seu e-mail trocando de lugar as letras do seu nome. O número de maneiras como ela pode fazer isso, considerando que a senha escolhida deve ser diferente do próprio nome, e a) 817. b) 48. c) 5039. d) 23. e) 2519. 4. (UFG/2010) Num episódio de uma série policial de televisão, um agente secreto encontra-se diante do desafio de descobrir a senha de quatro dígitos digitada no teclado numérico, instalado na porta de entrada de um laboratório. Para isso, o agente utiliza o seguinte artifício: borrifa um spray sobre o
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