Como calcular o domínio e contradomínio de uma função

Uma função é uma regra que relaciona cada elemento de um conjunto A a um único elemento de um conjunto B. De acordo com essa definição, as funções necessariamente devem relacionar todos os elementos do primeiro conjunto, mas nem todos os elementos do segundo conjunto serão “usados”. São nesses dois conjuntos que podemos encontrar o domínio, o contradomínio e a imagem de uma função.

Algebricamente, uma função é definida da seguinte maneira:

f: A → B
                                                                         y = f(x)

Em que f é a letra escolhida para representar a função, e y = f(x) é a regra da função.

O símbolo A → B quer dizer que os elementos do conjunto A serão avaliados na regra f(x) e terão como resultado um elemento do conjunto B. A letra x, em uma função, representa um elemento qualquer do conjunto A, por isso, é chamada de variável: pode assumir qualquer valor, desde que esse valor seja um dos elementos de A.

Além disso, x também é variável independente, pois é essa variável que determina qual elemento do conjunto B será relacionado ao elemento do conjunto A por meio da regra y = f(x).

A variável y é dependente da variável x, por essa razão, é nomeada como variável dependente. Em resumo, a variável x representa um elemento qualquer do conjunto A, e a variável y refere-se a um elemento qualquer do conjunto B.

O que é domínio, contradomínio e imagem?

Dada a função y = f(x) que relaciona os elementos do conjunto A aos elementos do conjunto B, podemos definir:

1 – O conjunto A é conhecido como domínio. Esse nome é escolhido para esse conjunto devido ao papel dos seus elementos na função. Lembre-se de que o conjunto A é que determina a variável independente. Portanto, os elementos do conjunto A possuem o “domínio” sobre os resultados da função, uma vez que os resultados de y obtidos dependem do valor x escolhido.

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Exemplo – dada a função:

f: N → Z

y = 2x

O conjunto dos números naturais é o domínio, portanto, os números que poderão ser relacionados estão no conjunto:

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …}

2 – O conjunto B é conhecido como contradomínio. Esse nome é escolhido pelo fato de que nem todos os elementos do conjunto B precisam ser usados para que a função seja válida. Além disso, esse nome remete à dependência que existe entre os conjuntos A e B.

O contradomínio é o conjunto em que encontraremos todos os números que podem ser relacionados aos elementos do domínio por meio da função f. Tomando novamente o exemplo anterior:

f: N → Z

y = 2x

O contradomínio é o conjunto formado por todos os números inteiros. Note que alguns números inteiros nunca poderão ser resultados de uma multiplicação de um número natural por 2, como o número 7. Assim, embora o número 7 pertença ao contradomínio, ele não pode ser relacionado a nenhum número no domínio.

3 – O subconjunto do contradomínio, formado por todos os seus elementos que se relacionam a algum elemento do domínio, é denominado de imagem.

Assim, na função anterior:

f: N → Z

y = 2x

Embora o conjunto de todos os números inteiros seja o contradomínio dessa função, apenas os números pares serão resultados de algum elemento do domínio aplicado na regra da função. Portanto, o conjunto imagem dessa função é o conjunto dos números pares.

Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática

O domínio de uma função de A em B é sempre o próprio conjunto de partida, ou seja, D=A. Se um elemento x

A estiver associado a um elemento y

B, dizemos que y é a imagem de x (indica-se y=f(x) e lê-se “y é igual a f de x”).

Observe o domínio e a imagem na função abaixo.

Outro exemplo: se f é uma função de IN em IN (isto significa que o domínio e o contradomínio são os números naturais) definida por y=x+2, então temos que:

• A imagem de 1 através de f é 3, ou seja, f(1)=1+2=3;
• A imagem de 2 através de f é 4, ou seja, f(2)=2+2=4;

De modo geral, a imagem de x através de f é x+2, ou seja: f(x)=x+2.

Em uma função f de A em B, os elementos de B que são imagens dos elementos de A através da aplicação de f formam o conjunto imagem de f. Segundo o conceito de função, existem duas condições para que uma relação f seja uma função:

1ª) O domínio deve sempre coincidir com o conjunto de partida, ou seja, todo elemento de A é ponto de partida de flecha. Se tivermos um elemento de A do qual não parta flecha, a relação não é função.

2ª) De cada elemento de A deve partir uma única flecha. Se de um elemento de A partir mais de uma flecha, a relação não é função.

Observações:

• Como x e y têm seus valores variando nos conjuntos A e B, recebem o nome de variáveis.
• A variável x é chamada variável independente e a variável y, variável dependente, pois para obter o valor de y dependemos de um valor de x.
• Uma função f fica definida quando são dados seu domínio (conjunto A), seu contradomínio (conjunto B) e a lei de associação y=f(x).

Exercícios resolvidos

1) Considere a função f: A

B representada pelo diagrama a seguir:

Determine:

a) o domínio (D) de f;
b) f(1), f(-3), f(3) e f(2);
c) o conjunto imagem (Im) de f;
d) a lei de associação

Resolução:

a) O domínio é igual ao conjunto de partida, ou seja, D=A.
b) f(1)=1, f(-3)=9, f(3)=9 e f(2)=4.
c) O conjunto imagem é formado por todas imagens dos elementos do domínio, portanto:
Im = {1,4,9}.
d) Como 12=1, (-3)2=9, 32=9 e 22=4, temos y=x2.

2) Dada a função f: IR

IR (ou seja, o domínio e a contradomínio são os números reais) definida por f(x)=x2-5x+6, calcule:

a) f(2), f(3) e f(0);
b) o valor de x cuja imagem vale 2.

Resolução:

a) f(2)= 22-5(2)+6 = 4-10+6 = 0
f(3)= 32-5(3)+6 = 9-15+6 = 0
f(0)= 02-5(0)+6 = 0-0+6 = 6

b) Calcular o valor de x cuja imagem vale 2 equivale a resolver a equação f(x)=2, ou seja, x2-5x+6=2. Utilizando a fórmula de Bhaskara encontramos as raízes 1 e 4. Portanto os valores de x que têm imagem 2 são 1 e 4.

Como se calcula o domínio da função?

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