Embora uma maçã não pudesse ter caído na cabeça de Sir Isaac Newton como a história diz, ela o inspirou a fazer uma das descobertas mais importantes da mecânica: a Lei da Gravitação Universal . Newton descobriu que a própria Terra seria responsável pelo movimento descendente da maçã depois de ponderar por que ela nunca cai para baixo, para trás ou em qualquer outra direção que não seja perpendicular ao solo. Newton foi capaz de formular uma lei física geral por dedução após a hipótese de que essa força seria igual às massas das duas forças em questão, usando as observações existentes a respeito da relação quadrada inversa da força entre a terra e a lua. Portanto, vamos primeiro discutir essa força gravitacional.
Qual é a força gravitacional?
A força gravitacional é a força de atração entre dois corpos quaisquer. Todos os objetos no universo se atraem com uma certa quantidade de força, mas na maioria dos casos, a força é muito fraca para ser observada devido à distância muito grande de separação. Essa força de atração, também conhecida como Força Gravitacional, foi identificada pela primeira vez por um grande cientista chamado Isaac Newton. Este conceito foi desenvolvido como Lei da Gravitação Universal de Newton no ano de 1680.
Propriedades importantes da força gravitacional são:
- A força gravitacional é a força mais fraca da natureza, mas tem alcance infinito.
- A força gravitacional é sempre atrativa.
- A força gravitacional atua entre quaisquer dois pedaços de matéria no Universo, uma vez que a massa é sua fonte.
- A força gravitacional é uma força central que depende apenas da posição da massa de teste da massa de origem.
- A força gravitacional sempre atua ao longo da linha que une os centros de dois corpos.
Alguns exemplos da força gravitacional são:
- Se alguém pular no céu, alguém não pode flutuar no ar, ele volta novamente para a terra devido à força gravitacional.
- Se uma bola for lançada para cima, ela atinge uma certa altura e cai devido à força gravitacional.
- A força de atração entre o Sol e os planetas no Universo é a Força Gravitacional.
Lei da Gravitação de Newton
De acordo com a Lei da Gravitação Universal, cada ponto de massa no universo desenha todos os outros pontos de massa no universo por uma força que aponta em uma linha reta entre seus centros de massa, e essa força é igual às massas das partículas e inversamente proporcional à sua diferença. De um ponto a outro, essa força atrativa freqüentemente aponta para dentro.
Esta lei se aplica a todos os objetos com peso, não importa o quão grande ou pequeno eles sejam. Se a diferença entre dois objetos massivos for muito grande em comparação com seus tamanhos ou se eles forem esfericamente simétricos, eles podem ser chamados de massas pontuais . Nestes casos, a massa de cada objeto pode ser medida por um ponto de massa em seu centro de massa.
Representação de duas massas para a Lei da Gravitação de Newton
Assim, de acordo com a lei da gravitação de Newton, cada partícula do universo atrai todas as outras partículas com uma força cuja magnitude é,
- Diretamente proporcional ao produto de suas massas, ou seja,
F ∝ (m 1 × m 2 ) …… (1)
- Inversamente proporcional ao quadrado da distância entre seus centros (também conhecido como lei do quadrado inverso), ou seja
F ∝ (1 / r 2 ) …… (2)
Ao combinar as equações (1) e (2), obtém-se que,
F ∝ (m 1 × m 2 ) / r 2 …… (3)
Portanto, a partir da equação (3), pode-se dizer que a força gravitacional ou força da gravidade entre duas partículas ou objetos é proporcional ao produto de suas massas e ao quadrado da distância entre eles.
F = G × (m 1 × m 2 ) / r 2 …… (4)
Aqui, G é a constante de proporcionalidade, também conhecida como constante gravitacional, que é sempre uma constante universal,
F é a força da gravidade,
m 1 é a massa de um objeto,
m 2 é a massa do outro objeto e
r é a distância entre esses objetos.
Qual é a constante gravitacional?
A Constante Gravitacional é uma constante de proporcionalidade e é usada na Lei da Gravitação Universal de Newton. É denotado por G .
Também pode ser definida como uma força de atração entre quaisquer duas unidades de massa separadas por unidade de distância. Da Lei da Gravitação Universal de Newton, ou seja, da equação (4), a expressão para G é:
F = G × (m 1 × m 2 ) / r 2
G = F × r 2 / (m 1 × m 2 )
Quando r = 1 me m 1 = m 2 = 1 kg. então
G = F
A fórmula dimensional para G é [M -1 L 3 T -2 ].
Seus valores em unidades SI são 6,67 × 10 -11 Nm 2 kg -2 e no sistema CGS é 6,67 × 10 -8 dine cm 2 g -2 .
Importância da Lei Gravitacional
A lei universal da gravitação explicou com sucesso muitos conceitos como:
- Como ocorre o movimento planetário?
- Como todos os objetos do Universo afetam uns aos outros?
- Como ocorre o movimento lunar ao redor da Terra?
- Como sempre nos mantivemos no solo e como a gravidade é responsável pelo peso do corpo?
Forma vetorial da Lei da Gravitação de Newton
O par ação-reação formado pelas forças gravitacionais agindo entre as duas partículas é chamado de forma vetorial da lei da gravitação de Newton. Considere dois corpos de massa de pontos A e B de massas m₁ e m₂ colocados a uma distância r separados, conforme mostrado na figura abaixo:
Aqui
A partir da figura acima, pode-se ver que as duas partículas de massas e são colocadas à distância
Portanto, de acordo com a lei da gravitação de Newton, a força aplicada em m 2 por m 1 é
O sinal negativo indica a natureza atrativa da força.
Da mesma forma, a força gravitacional em m 1 por m 2
Nós sabemos isso
⇒ | r 12 | 2 = | r 21 | 2
Assim, obtém-se que:
Isso implica que os dois vetores acima são iguais e opostos um ao outro, o que diz que a força gravitacional satisfaz a terceira lei de Newton.
Conseqüentemente, essa forma vetorial da lei da gravitação de Newton significa que as forças gravitacionais agindo entre as duas partículas formam o par ação-reação, conforme mostrado acima.
Princípio da Superposição de Forças Gravitacionais
O princípio da superposição das forças gravitacionais afirma que a força gravitacional total em qualquer objeto é igual à soma das forças gravitacionais individuais agindo sobre esse objeto. Em outras palavras, o campo gravitacional líquido em um ponto é a soma vetorial dos campos gravitacionais naquele ponto devido a diferentes fontes e é dado como:
onde
Dedução da Lei da Gravitação de Newton da Lei de Kepler
Suponha que um planeta de massa m esteja girando em torno do sol de massa M em uma órbita quase circular de raio r, com uma velocidade angular constante ω. Seja T o período de revolução do planeta em torno do sol.
Portanto,
F = mrω 2
= mr × (2π / T) 2 …… (1)
De acordo com a terceira lei de Kepler, o quadrado do período de tempo do planeta é proporcional aos quadrados de comprimento dos semi-eixos maiores e é dado como:
T 2 ∝ r 3
ou
T 2 = R 3
onde k é a constante de proporcionalidade, T é o período de tempo do planeta er é o comprimento do semieixo maior.
Agora aplique isso na equação (1) como:
F = mr × (4π 2 / kr 3 )
= (4π 2 × m) / kr 2
Mas k = 4π 2 / GM, substitua isso na expressão acima como:
F = (G × M × m) / r 2
que é a equação da lei da gravitação de Newton.
Portanto, Newton deduziu o seguinte das Leis de Kepler:
- Uma força que ocorre na terra devido ao sol é a força centrípeta, que é orientada para o sol.
- A gravidade do planeta deve ser inversamente proporcional ao quadrado de sua distância do sol.
- A força que opera na Terra é proporcional ao produto das massas da Terra e do Sol.
Exemplos de problemas na Lei da Gravitação de Newton
Problema 1: A força gravitacional de atração será diferente se os mesmos corpos forem levados para a lua mantendo sua distância de separação constante?
Solução:
Se os mesmos corpos são levados para a lua mantendo sua distância de separação constante, então a força gravitacional de atração entre os dois corpos permanece a mesma, uma vez que a força gravitacional de atração entre dois corpos não é afetada pela presença do terceiro corpo e do meio entre os dois corpos.
Assim, a força gravitacional de atração permanece a mesma entre esses corpos depois de ir para a lua.
Problema 2: Dois corpos de massas de 5 kg e 6 kg são colocados com seus centros separados por 64 m. Calcule a aceleração inicial de duas massas assumindo que nenhuma outra força atue sobre elas.
Solução:
Dado que,
A massa do primeiro corpo, m 1, é de 5 kg.
A massa do segundo corpo, m 2, é de 6 kg.
A distância entre os dois corpos, r é de 64 m.
E o valor da constante gravitacional universal, G é 6,67 × 10 -11 Nm 2 kg -2
Pela lei da gravitação de Newton, a fórmula da força gravitacional é dada como
F = G × (m 1 × m 2 ) / r 2
Substitua os valores fornecidos na expressão acima como:
F = 6,67 × 10 -11 Nm 2 kg -2 × (5 kg × 6 kg) / (64 m) 2
= 48,85 × 10 -14 N
Agora, sabe-se que a força resultante em um objeto é dada por:
F = ma
ou
a = F / m
Substitua os valores dados e obtidos na expressão acima para calcular a para dois corpos como:
a 1 = 48,85 × 10 -14 N / 5 kg
= 9,77 × 10 -14 m / s 2
E
a 2 = 48,85 × 10 -14 N / 6 kg
= 8,142 × 10 -14 m / s 2
Assim, as acelerações iniciais de dois corpos são 9,77 × 10 -14 m / s 2 e 8,142 × 10 -14 m / s 2, respectivamente.
Problema 3: Um corpo de massa de 1 kg e outro corpo de massa de 10 kg são separados por uma distância de 100 m, e são atraídos por uma força de 19,6 × 10 -10 N. Calcule o valor da constante de gravitação universal para o determinado caso.
Solução:
Dado que,
A massa do primeiro corpo, m 1, é de 1 kg.
A massa do segundo corpo, m 2, é de 10 kg.
A distância entre os dois corpos, r é de 100 m.
A força gravitacional de atração entre os dois corpos F é 19,6 × 10 -10 N.
Portanto, a partir da Lei da Gravitação de Newton:
G = F × r 2 / (m 1 × m 2 )
= 19,6 × 10 -10 N × (100 m) 2 / (1 kg × 100 kg)
= 19,6 × 10 -7 Nm 2 kg -2
Assim, o valor da constante de gravitação universal para este caso é 19,6 × 10 -7 Nm 2 kg -2 .
Problema 4: Se os dois objetos se atraem com uma força gravitacional de unidades F. Se a massa de ambos os objetos foi triplicada e a distância entre os objetos também dobrou. Qual seria a nova força de atração entre dois objetos?
Solução:
Deixe a força de atração entre dois corpos ser F N.
E é conhecido pela Lei da Gravitação de Newton que a força de atração gravitacional é,
F = G × (m 1 × m 2 ) / r 2
onde m 1 é a massa do primeiro objeto, m 2 é a massa do segundo objeto er é a distância entre os dois corpos.
Seja F 1 a nova força de atração entre dois objetos.
Quando a massa de ambos os objetos é triplicada e a distância entre os objetos é duplicada, a força que atua entre dois objetos é,
F 1 = G × (3 × m 1 × 3 × m 2 ) / (2r) 2
= 9G × m 1 × m 2 / 4r 2
= 9F / 4
Assim, a nova força de atração entre dois objetos é 9F / 4 unidades.
Problema 5: Calcule a força resultante agindo sobre a massa m que está na posição 1 e todas as massas que são iguais am são colocadas nos vértices do triângulo equilátero tendo o comprimento de seu lado r.
Solução:
Dado isso, as massas cujo peso é igual am são colocadas nos três vértices do triângulo equilátero.
Seja F 1 a força atuando sobre a massa m que está na posição 1.
Pelo Princípio da Superposição de Forças Gravitacionais,
F 1 = forças que agem sobre a massa m devido a outra massa m que está na posição 2 + forças que agem sobre a massa m devido a outra massa m que está na posição 3.
Aqui
efaz um ângulo de 60 ° entre si, uma vez que atuam ao longo dos lados do triângulo equilátero.
Deixar
F res =
=
F res = √3f = √3 × Gm 2 / r 2
Assim, a força resultante agindo sobre a massa m que está na posição 1 e todas as massas que são iguais am são colocadas nos vértices do triângulo equilátero com o comprimento de seu lado é √3Gm 2 / r 2 .
Problema 6: Três esferas uniformes, cada uma com massa M e raio a, são mantidas de modo que cada uma toque as outras duas. Encontre a magnitude da força gravitacional em qualquer uma das esferas devido às outras duas esferas.
Solução:
Sejam A, B e C os centros de três esferas uniformes.
Seja
a Força atuando em C devido a A eseja a força atuando em C devido a BDeixe a força total agindo em C devido a A e B ser
Pelo Princípio da Superposição de Forças Gravitacionais,
⇒
…… (1)Ao unir A, B e C, obtemos um triângulo equilátero, ou seja, ele forma um ângulo de 60 ° entre eles.
Dado o raio de cada esfera é um
então, AB = BC = CA = 2a
Da lei da gravitação de Newton,
Aqui
A partir de 1),
=
=
| F | =
Assim, a magnitude da força gravitacional em qualquer esfera devido às outras duas esferas é
Problema 7: se o mercúrio, Vênus e o Sol estão alinhados em um triângulo retângulo. Calcule a soma vetorial das forças em Vênus devidas ao mercúrio e ao sol. Qual é a direção e magnitude da força resultante?
Solução:
Dado que,
Distância entre o Sol e Vênus (r v) = 108 × 10 9 metros.
Distância entre o Sol e Mercúrio (r m) = 57,6 × 10 9 metros
Distância entre Mercúrio e Vênus (r mv ) =
⇒ r mv = 1,08 × 10 11 metros.
Massa do Sol = 1,99 × 10 30 kg
Massa de Mercúrio = 3,3 × 10 23 kg
Massa de Vênus = 4,87 × 10 24 kg
Deixe a Força atuando em Vênus devido ao Sol ser F S
Da lei da gravitação de Newton,
= 6,67 × 10 -11 × 1,99 × 10 30 × 4,87 × 10 24 / (108 × 10 9 ) ^ 2
F S = 5,54 × 10 22 N
Deixe a Força agindo em Vênus devido a Mercúrio ser F M
⇒
= 6,67 × 10 -11 × 3,3 × 10 23 × 4,87 × 10 24 /( 1,08 Budap10 11 ) 2
F M = 9,19 × 10 15 N
Aqui, a Força devida ao Sol é mais de um milhão de vezes maior que a Força devida a Mercúrio e, portanto, a Força resultante é principalmente devida ao Sol e sua magnitude é igual à Força atuando devido ao Sol. E a direção da Força resultante semelhante à direção devida ao Sol.