Por que a força elétrica é mais intensa do que a força gravitacional?

A força eletrostática e a lei de Coulomb

Além das famosas três leis da Mecânica, Newton mostrou que a força que mantém a Terra orbitando em torno do Sol, da Lua orbitando em torno da Terra, da maça caindo próxima à superfície da Terra, todas elas tem uma mesma origem: a força gravitacional. Segundo a lei de gravitação universal de Newton, duas massas puntifomes,

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Na linguagem matemática

A força gravitacional é uma das forças fundamentais da Natureza.

Existem outras forças ditas fundamentais da Natureza? Na verdade hoje acreditamos que existem mais três: além da força gravitacional, existe a força eletromagnética, a força fraca e a força forte.

As duas últimas forças são de curtíssimo alcance e portanto são importantes somente em processos atômicos e subatômicos (por exemplo, a força fraca é responsável pelo decaimento do nêutron livre).

A força eletromagnética é uma combinação das forças elétrica e magnética. Nesta página vamos nos focar somente na força elétrica devido a cargas em repouso ou que não estejam muito aceleradas, situação em que descreveremos como um sistema estático ou estacionário.

Na situação eletrostática, a força elétrica é conhecida também como força coulombiana, em homenagem ao cientista francês Charles A. Coulomb.

A lei que leva o seu nome diz que duas cargas puntiformes,

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onde

É interessante observar que a equação acima é muito parecida com a equação (1). Só precisamos fazer as correspondências

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Mas há uma diferença fundamental entre as duas forças. Enquanto que na Natureza há somente um “tipo” de massa, cargas elétricas vêm em dois tipos: convencionamos chamá-las de carga positiva e carga negativa. Com isto, a força coulombiana pode ser atrativa (cargas opostas) ou repulsiva (cargas de mesmo tipo).

Se separarmos dois  prótons a uma certa distância

Como ambas as forças dependem do inverso do quadrado da distância [veja equações (1) e (2)], a razão dá

Sabendo-se que a massa do próton é

no sistema internacional de unidades, temos que

Ou seja, a força eletrostática é muitíssimo maior do que a gravitacional.

Mas ainda bem que o Universo é um lugar mais ou menos neutro eletricamente, ou seja, a carga resultante é zero. Caso contrário, se tivéssemos só um tipo de carga, jamais seria possível formar planetas, estrelas, galáxias e todos os aglomerados de matéria, pois a força gravitacional seria insignificante dianta da força eletrostática repulsiva.

No entanto, como a matéria é praticamente neutra, a atração gravitacional dá origem às grandes estruturas do Universo.

Por outro lado, forças eletrostáticas são fundamentais na escala microscópica. Embora o modelo atômico vigente, descrito pela Mecânica Quântica, é incompatível em muitos aspectos ao modelo semiclássico como o átomo de Bohr, é bastante instrutivo  pensar num modelo “planetário” para o átomo, onde elétrons em determinados orbitais giram em torno do núcleo formado por nêutrons e prótons.

Aqui abrimos um parêntesis para fazer um brainstorm: o que mantém os prótons coesos no núcleo, pois deveria haver repulsão entre eles? O que mantêm os nêutrons no núcleo, se eles são eletricamente neutros?

Prosseguindo, dá para se estabelecer um paralelo do modelo planetário com o modelo semiclássico do átomo. Enquanto no primeiro caso, a força gravitacional é a responsável pelas órbitas dos planetas, no segundo, é a força eletrostática (cargas estão sendo aceleradas, mas os postulados de Niels Bohr “cuidam” desses detalhes).

Para ambas as forças, surge uma questão curiosa: de que forma uma massa “sente” a presença de uma outra massa? Similarmente, como uma carga “sente” a presença da outra?

Na figura dos planetas orbitando o Sol, que “coisa” comunica a um planeta que o Sol está lá e vice-versa? Afinal, se o Sol desaparecer de repente, os planetas sairiam das suas órbitas!

Chamamos essa “coisa” de campo. Temos assim o campo gravitacional e o campo elétrico, onde discutiremos em maiores detalhes a seguir.

O Campo Elétrico

Assim como ocorre com as massas e a força gravitacional, como exatamente corpos e cargas elétricas interagem?

Não vemos nenhum tipo de contato entre, por exemplo, a Terra e uma maça que cai em sua direção. Também não ocorre o contato físico entre as cargas para existir a força elétrica, dada pela lei de Coulomb.

Num curso de Mecânica, introduzimos o conceito de aceleração da gravidade

A força entre a Terra e o corpo é dada pela lei da gravitação universal de Newton [equação (1)]. É importante observar que a equação (1) pode ser facilmente adaptada para objetos extensos, em particular para uma esfera cuja densidade de massa só dependa da distância até o seu centro. Se essa é a força resultante sobre o corpo, a segunda lei de Newton afirma que

onde

Logo, a aceleração é

Usando a notação vetorial, temos que

Encontramos a “coisa” que estávamos procurando: é

onde

Mas  afinal, o que é campo gravitacional? Está presente no espaço, mas não a vemos. Nós sentimos o seu efeito da seguinte forma: determine a força (gravitacional) que age num objeto de massa

Se fizermos a substituição da massa pela carga elétrica, nós obtemos algo que chamamos de campo elétrico. Para um sistema formado pelas cargas

Analogamente à definição de

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O campo elétrico, assim como o campo gravitacional, possui intensidade, direção e sentido, o que faz dele uma grandeza vetorial.

Representaremos o campo elétrico usando o que chamamos de linhas de campo. Elas são um pequeno número das possíveis infinitamente numerosas linhas que indicam o sentido e a direção do campo elétrico. O campo elétrico num determinado ponto é tangente à linha de campo.

Abaixo temos as linhas de campo representando o campo elétrico de uma carga positiva. As linhas são radiais apontando para fora. O campo elétrico também será radial, apontando para fora.

No caso da carga negativa, as linhas de campo são igualmente radiais, mas apontam para dentro. Logo, o campo elétrico também será radial e apontará para a carga.

Quando duas cargas elétricas de sinais opostos são colocadas próximas, seus campos elétricos passam a interagir, criando em suas proximidades uma configuração diferente da que observamos quando tais cargas encontra-se isoladas. O campo resultante é a soma (vetorial) dos campos de carga positiva e negativa.

No simulador disponível abaixo, você pode testar diferentes configurações de cargas elétricas, e observar as mudanças sofridas no espaço em torno das cargas elétricas. 

Campo elétrico de uma distribuição de cargas

No Ensino Médio, só se calculam campos elétricos devido a uma distribuição discreta de cargas (cargas puntiformes). O campo elétrico resultante é a soma (vetorial) de todos os campos gerados pelas cargas puntiformes num determinado ponto do espaço. Achar o campo resultante torna-se assim, um problema de soma de vetores, cujo conhecimento de geometria ajuda bastante. Um exemplo comum é colocar uma determinada carga em cada um dos vértices de um retângulo e pedir o campo elétrico resultante em algum ponto do espaço (num vértice, no centro do retângulo, etc.)

Para essas distribuições, a determinação do campo elétrico resultante num ponto não é um problema desafiador. O que pode ser desafiador, mas que não está no escopo do Ensino Médio, é a obtenção do campo elétrico de uma distribuição contínua de carga. Por exemplo, qual seria o campo elétrico de uma barra delgada uniformemente carregada? E o campo de uma esfera metálica, cuja carga total se concentra inteiramente na sua superfície?

Esse questionamento também surge para o cálculo do campo gravitacional de objetos extensos. Por exemplo, se ao invés da Terra ser uma esfera, se fosse chata, como deveria ser o seu campo gravitacional? Como é o campo gravitacional dentro da superfície da Terra?

Na Física, há uma receita muito simples para esse tipo de configuração de carga. Vamos ilustrá-la com um exemplo; o cálculo do campo elétrico de um fio carregado e muito longo. Vamos denotar por

Até aqui, vimos que o campo elétrico devido a uma carga puntiforme é dado pela equação (4). Por comodidade, vamos repeti-lo aqui:

Localizado a uma distância que chamaremos de

Vamos supor que o fio se encontra sobre o eixo

Aqui

(5)  

O campo acima só vale para um pedaço pequeno do fio, naquela posição específica. Como o fio é formado praticamente por uma quantidade muito grande desses pedaços pequenos e que para cada pedaço pequeno a equação (5) é válido, o campo resultante em P é a soma (vetorial) de cada um dos campos

Na linguagem do cálculo, no limite

Um detalhe muito importante de integral é que ela é uma soma. E como estamos somando vetores

Para ver os detalhes técnicos e como resolver a integral, clique em “Abrir Dedução Matemática”.

Nossa técnica será dividir em pequenos “pedaços” nosso fio, sendo que cada pedaço contem uma quantidade de carga.

Chamaremos de dE o vetor campo elétrico devido a cada pequeno pedaço desse fio.

Reescrevendo e substituindo nossa expressão para o Campo elétrico, temos

Nos interessa apenas a componente que está na direção z do vetor r, pois como existe uma simetria em relação ao eixo x, as componentes nessa direção se cancelam.

Temos então

Vale a seguinte relação

E sabemos que

Substituindo, temos

O campo elétrico gerado por todo o fio, é a soma de cada uma das contribuições obtidas ao longo do fio.

Usaremos uma ferramenta matemática para somar todas essas contribuições. Iremos integrar em todo o espaço somando todas as componentes continuamente.

Escolhemos um fio de comprimento infinito, logo iremos definir os limites de integração entre esses extremos

Fatorando

Chegamos à uma expressão reduzida e mais sintética para que possamos resolver essa integral

Para sua resolução, usaremos a técnica da substituição

Onde

Substituindo em nossa integral, temos

Lembrando que

Então

Essa integral indefinida é conhecida, e vale

Contudo, precisamos retornar à nossa variável original

Como

Então

Aplicando os limites de integração

O campo elétrico gerado  por um fio de comprimento infinito num ponto P distante

Esse resultado obtido para o valor do campo elétrico gerado no espaço para um fio infinito, mostra um campo elétrico que cai com o inverso da distância. No caso de um campo gerado por uma carga pontual, como sabemos, o campo diminui com o quadrado do valor da distância.

É interessante notar que os campos estão intimamente relacionados com o espaço, e são invariáveis. Perceba que essa campo é calculado a partir de um referencial que está em repouso com relação ao fio. Iremos estudar a o caso do campo elétrico calculado a partir de um referencial que se movimenta com relação ao fio. Estudaremos assim sua invariabilidade com relação às transformações de Lorentz.

No link abaixo você acessa um tópico de material avançado, no qual o professor da Universidade Federal Fluminense (UFF), Kaled Dechoum, resolve o problema do fio infinito problema utilizando a Lei de Gauss.

A lei de Gauss é uma das quatro equações fundamentais do eletromagnetismo, sendo uma poderosa ferramenta para o cálculo de Campos Elétricos gerados no espaço.

Sua compreensão exige o prévio conhecimento de teoria matemática mais avançada, mais precisamente do Cálculo Integral e diferencial.

Escrita na forma integral de sua notação, seu enunciado matemático é representado da seguinte forma:

Num segundo link também de conteúdo avançado, o problema consiste em utilizar a lei de Gauss para encontrar o Campo Elétrico de um plano infinito.

Qual a diferença entre força elétrica é força gravitacional?

Qual a força fundamental mais forte?

Porque a gravidade é a força mais fraca?

Que semelhanças existem entre uma força elétrica é uma força gravitacional Quais são as diferenças mais relevantes entre essas duas forças?