Quais são os autovalores de uma matriz?

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Autovalores e Autovetores

Ulysses Sodr�

Material desta p�gina

• 1 Introdu��o
• 2 Autovalor e Autovetor
• 3 Autoespa�o associado ao autovalor
• 4 Polin�mio caracter�stico
• 5 Matrizes Semelhantes
• 6 Matriz ortogonal
• 7 Aplica��es de autovalores em Geometria
• 8 Aplica��es de autovalores em EDO

1 Introdu��o

Seja \(V\) um espa�o vetorial de dimens�o \(n\) sobre um corpo \(K\), A uma matriz quadrada de ordem \(n\) e \(T:V\to V\) uma transforma��o linear, definida por

\[T(v) = Av\]

Pergunta: Ser� que existe algum vetor \(v\in V\), cuja imagem pela transforma��o \(T\) tenha a mesma dire��o que o vetor \(v\), ou seja, ser� que existe um escalar \(k\in K\) tal que

\[T(v) = k v\]

� claro que o vetor nulo tem essa propriedade para qualquer escalar, mas notamos que o vetor nulo n�o pode ser utilizado em uma base do espa�o vetorial \(V\), objetivo fundamental no contexto do estudo de autovalores e autovetores.

Estamos procurando escalares \(k\in K\) para os quais

\[T(v) = Av = k v\]

Subjacente ao processo de descoberta desses escalares e vetores est�o as solu��es de muitos problemas aplicados da Matem�tica, F�sica, Engenharias Civil e El�trica, etc.

2 Autovalor e Autovetor

Seja \(A\) uma matriz quadrada de ordem \(n\) sobre um corpo \(K\). Se existe um escalar \(k\in K\) e um vetor \(v\neq\theta\) tal que

\[Av = kv\]

este escalar \(k\) � denominado um autovalor de \(A\) e \(v\) � um autovetor associado a este escalar \(k\).

Sin�nimos para a palavra autovalor s�o: valor pr�prio e valor caracter�stico.

Exemplo 1: Seja uma matriz \(A\) e um vetor gen�rico \(v\) tal que:

\[A = \begin{pmatrix} 1&0&0 \cr 0&2&0 \cr 0&0&3 \end{pmatrix} \quad e \quad v = \begin{pmatrix} x \cr y \cr z \end{pmatrix}\]

Observamos que:

\[A v = \begin{pmatrix} 1&0&0 \cr 0&2&0 \cr 0&0&3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \cr y \cr z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1x \cr 2y \cr 3z \end{pmatrix}\]

Procuramos escalares \(k\) tal que \(Av=kv\), isto �:

\[\begin{pmatrix} 1x \cr 2y \cr 3z \end{pmatrix} = k \begin{pmatrix} x \cr y \cr z \end{pmatrix}\]

Na verdade, devemos resolver o sistema de equa��es:

\[\begin{pmatrix} (1-k)x=0 \cr (2-k)y=0 \cr (3-k)z=0 \end{pmatrix}\]

com a condi��o que \(v=(x,y,z)\neq (0,0,0)\).

Temos tr�s possibilidades para os autovalores:

1. Se \(x\neq 0\) ent�o \(k=1\) e usando este valor nas outras equa��es, obtemos \(y=0\) e \(z=0\). Um vetor simples com estas propriedades � \(v_1=(1,0,0)^t\).
2. Se \(y\neq 0\) obtemos \(k=2\), o que implica que \(x=0\) e \(z=0\). Um vetor simples com estas propriedades � \(v_2=(0,1,0)^t\).
3. Se \(z\neq 0\) ent�o \(k=3\), garantindo que \(x=0\) e \(y=0\). Um vetor simples com estas propriedades � \(v_3=(0,0,1)^t\).

Neste caso espec�fico, conclu�mos que para cada autovalor existe um �nico autovetor associado.

Exemplo 2: Seja agora uma matriz \(A\) e um vetor gen�rico \(v\) tal que:

\[A = \begin{pmatrix} 1&0&0 \cr 0&2&0 \cr 0&0&2 \end{pmatrix}\quad e \quad v = \begin{pmatrix} x \cr y \cr z \end{pmatrix}\]

Procuramos escalares \(k\) tal que \(Av=kv\), isto �:

\[\begin{pmatrix} 1x \cr 2y \cr 2z \end{pmatrix} = k \begin{pmatrix} x \cr y \cr z \end{pmatrix}\]

Basta resolver o sistema de equa��es

\[\begin{pmatrix} (1-k)x = 0 \cr (2-k)y =0 \cr (2-k)z =0 \end{pmatrix}\]

exigindo que \(v=(x,y,z)\neq (0,0,0)\).

Existem duas possibilidades para os autovalores.

1. Se \(x\neq 0\) ent�o \(k=1\), logo \(y=0\) e \(z=0\). Um vetor com estas propriedades � \(v_1=(1,0,0)^t\).
2. Se \(y\neq 0\) ent�o \(k=2\) e obtemos \(x=0\) mas existem infinitos valores para \(z\), inclusive \(z=0\). Um vetor simples que satisfaz a estas propriedades � \(v_2=(0,1,0)^t\).
3. Se \(z\neq 0\) ent�o \(k=2\) e segue que \(x=0\) mas existem muitos valores para \(y\), inclusive \(y=0\). Um vetor simples que satisfaz a estas propriedades � \(v_3=(0,0,1)^t\).

Neste caso, notamos que para o autovalor \(k=1\) existe apenas um autovetor, mas para o autovalor \(k=2\) existem dois autovetores.

Exemplo 3: Seja agora uma matriz \(A\) e um vetor gen�rico \(v\) tal que:

\[A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \cr 0 & 2 & 0 \cr 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \quad e \quad v = \begin{pmatrix} x \cr y \cr z \end{pmatrix}\]

Procuramos escalares \(k\) tal que \(Av=kv\), isto �:

\[\begin{pmatrix} 2x \cr 2y \cr 2z \end{pmatrix} = k \begin{pmatrix} x \cr y \cr z \end{pmatrix}\]

Basta resolver o sistema de equa��es

\[\begin{matrix} (2-k)x = 0 \cr (2-k)y =0 \cr (2-k)z =0 \end{matrix}\]

com a condi��o que \(v=(x,y,z)\neq (0,0,0)\).

Existe um �nico autovalor \(k=2\). Realmente, se \(x\neq 0\) ou \(y\neq 0\) ou \(z\neq 0\) ou \(xyz\neq 0\) ent�o \(k=2\), garantindo que existem infinitas op��es para \(x\), \(y\) e \(z\), mas vamos escolher tr�s bastante simples:

1. Se \(x=1\), \(y=0\) e \(z=0\), obtemos \(v_1=(1,0,0)^t\).
2. Se \(x=0\), \(y=1\) e \(z=0\), obtemos \(v_2=(0,1,0)^t\).
3. Se \(x=0\), \(y=0\) e \(z=1\), obtemos \(v_3=(0,0,1)^t\).

Neste caso, observamos que o mesmo autovalor \(k=2\) gerou tr�s autovetores.

Levando em considera��o os tr�s exemplos, tem sentido definir o conceito de autoespa�o associado a cada autovalor.

3 Autoespa�o associado ao autovalor

Se \(k\) � um autovalor de uma matriz \(A\), definimos o auto-espa�o associado a \(k\) como o conjunto de todos os vetores obtidos pela combina��o linear dos autovetores associados a \(k\). Denotamos este conjunto por:

\[S_k = \{v\in V: Av=kv \}\]

Proposi��o: O conjunto \(S_k\) � um subespa�o vetorial de \(V\) gerado pelos autovetores associados a \(k\).

Demonstra��o: O vetor nulo n�o � um autovetor mas \(0\in S_k\) pois \(A\theta=k\theta=\theta\).

Se \(v\in S_k\) e \(w\in S_k\), ent�o \(Av=kv\) e \(Aw=kw\), logo

\[A(v+w) = Av+Aw = kv+kw = k(v+w)\]

e conclu�mos que \(v+w\in S_k\).

Analogamente, se \(v\in S_k\) e \(k\in K\), ent�o:

\[A(kv) = k(kv)\]

e conclu�mos que \(kv\in S_k\).

Ao inv�s de trabalhar diretamente com a resolu��o de sistemas como nos exemplos, existe um processo mais simples para obter os autovalores de \(A\).

4 Polin�mio caracter�stico

Seja \(A\) uma matriz \(n{\times}n\) sobre \(K\). Definimos o polin�mio caracter�stico de \(A\) como:

\[f(k)=\det(kI-A)\]

Exemplo: Seja a matriz definida por:

\[A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \cr 4 & 9 \end{pmatrix}\]

Assim:

\[f(k) = \begin{vmatrix} k-1 & -2 \cr -4 & k-9 \end{vmatrix} = k^2-10k+1\]

Algumas vezes vemos na literatura o polin�mio caracter�stico da matriz A definido na forma trocada

\[f(k)=\det(A-kI)\]

Lema: Seja \(M\) uma matriz quadrada de ordem \(n{\times}n\). Um sistema \(Mv=0\) tem solu��o n�o trivial se, e somente se, \(\det(M)=0\).

Teorema: Os autovalores de uma matriz quadrada \(A\) de ordem \(n{\times}n\) s�o zeros do polin�mio caracter�stico de \(A\), isto �, s�o escalares \(k\) para os quais \(f(k)=0\).

Demonstra��o: Os autovalores da matriz \(A\) podem ser obtidos a partir da exist�ncia de escalares \(k\) e vetores n�o nulos \(v=(x,y,z)^t\) para os quais

\[Av = k v\]

Este sistema pode ser reescrito como:

\[Av = kIv\]

ou seja

\[(kI-A)v = 0\]

e este sistema tem uma solu��o n�o trivial se, e somente se, o determinante da matriz \(kI-A\) � nulo (consequ�ncia da Regra de Cramer), isto �:

\[\det(A-kI) = 0\]

Notamos que \(\det(A-kI)\) � uma fun��o polinomial na vari�vel \(k\), da� indicarmos esta express�o por:

\[f(k)=\det(A-kI)\]

A partir deste Teorema podemos obter os autovetores se resolvermos o sistema

\[(kI-A)v=0\]

Exemplo: Seja a matriz dada por

\[A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \cr -1 & 2 & 1 \cr -1 & 1 & 2 \end{pmatrix}\]

O polin�mio caracter�stico associado � matriz \(A\) �

\[f(k) = k^3-4k^2+5k-2\]

Como a soma dos coeficientes deste polin�mio � igual a zero, segue que \(k=1\) � um zero de \(f=f(k)\) e temos que \(f(1)=0\). Assim dividimos este polin�mio por \((k-1)\) para obter a forma decomposta:

\[f(k) = (k-1)(k^2-3k+2)\]

e usando a f�rmula quadr�tica (que n�o � de Bhaskara), obtemos:

\[f(k) = (k-1)(k-1)(k-2)\]

o que significa que os autovalores de \(A\) s�o \(k=1\), \(k=1\) e \(k=2\).

Em geral, o sistema \((kI-A)v=0\) toma a forma

\[(kI-A) \begin{pmatrix} x \cr y \cr z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k & -1 & -1 \cr 1 & k-2 & -1 \cr 1 & -1 & k-2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \cr y \cr z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \cr 0 \cr 0 \end{pmatrix}\]

Para \(k=1\), o sistema toma a forma:

\[\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \cr 1 & -1 & -1 \cr 1 & -1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \cr y \cr z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \cr 0 \cr 0 \end{pmatrix}\]

e este sistema se reduz a apenas uma equa��o \(x-y-z=0\).

Como temos duas vari�veis livres, podemos escrever \(x=y+z\), para obter valores para \(x\) em fun��o de \(y\) e de \(z\).

Se \(y=1\) e \(z=0\) ent�o \(x=1\) e \(v_1=(1,1,0)^t\) � um autovetor. Se \(y=0\) e \(z=1\) ent�o \(x=1\) e \(v_2=(1,0,1)^t\) � outro autovetor.

Para \(k=2\), o sistema toma a forma:

\[\begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \cr 1 & 0 & -1 \cr 1 & -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \cr y \cr z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \cr 0 \cr 0 \end{pmatrix}\]

e este sistema se reduz a apenas uma rela��o \(x=y=z\) e tomando \(x=y=z=1\), obtemos o terceiro autovetor de \(A\): \(v_3=(1,1,1)^t\).

5 Matrizes Semelhantes

Duas matrizes \(A\) e \(B\) s�o semelhantes, se existe uma matriz invers�vel \(P\) tal que

\[A = P^{-1}BP\]

Exerc�cio: Seja a matriz \(A\) do exemplo anterior:

\[A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \cr -1 & 2 & 1 \cr -1 & 1 & 2 \end{pmatrix}\]

1. Construir uma matriz \(P\) que tem como colunas os autovetores \(v_1\), \(v_2\) e \(v_3\) da matriz \(A\).
2. Obter a inversa da matriz \(P\).
3. Calcular a matriz \(D\) semelhante a \(A\), definida por \(D=P^{-1}AP\).
4. Tirar alguma conclus�o sobre a posi��o dos autovalores na matriz \(D\).
5. Verificar que \(\text{tra�o}(D)=\text{tra�o}(A)\).
6. Verificar que \(\det(D)=\det(A)\).

Exerc�cio: Considere uma matriz \(A\) (com autovalores complexos) definida por:

\[A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \cr 0 & 0 & 1 \cr 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}\]

1. Mostrar que o polin�mio caracter�stico de \(A\) � dado por: \(f(k)=k^3-k^2-1\).

2. Para obter os autovalores de \(A\), devemos resolver a equa��o \(f(k)=0\), cujos zeros s�o:

   \begin{align} k_1 &= 1.4655712 \cr k_2 &= -0.232786 + 0.792552 i \cr k_3 &= -0.232786 - 0.792552 i \end{align}

   1. Obter os autovetores da matriz \(A\).
   2. Construir uma matriz \(P\) que tem como colunas os autovetores \(v_1\), \(v_2\) e \(v_3\) da matriz \(A\).
   3. Obter a inversa da matriz \(P\).
   4. Calcular a matriz \(D\) semelhante a \(A\), definida por \(D=P^{-1}AP\).
   5. Tirar alguma conclus�o sobre os autovalores da matriz \(D\).
   6. Mostrar que o operador tra�o possui a propriedade: \(\text{tra�o}(D)\approx\text{tra�o}(A)\).
   7. Verificar que \(\det(D)\approx\det(A)\).

6 Matriz ortogonal

Uma matriz \(M\) � ortogonal se \(M^{-1}=M^t\).

Exemplo: Uma t�pica matriz ortogonal � a matriz de rota��o de \(\theta\) radianos, definida por:

\[R_{\theta}=\begin{pmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \cr \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix}\]

pois a inversa de \(R_{\theta}\) � igual � transposta de \(R_{\theta}\).

7 Aplica��es de autovalores em Geometria

Seja a curva plana determinada pela forma quadr�tica \(ax^2+2bxy+cy^2=d\) onde \(a^2+b^2+c^2\neq 0\).

Podemos reescrever o membro da esquerda da equa��o acima como:

\[ax^2+2bxy+cy^2= \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \cr b & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \cr y \end{pmatrix} = v^t A v\]

onde

\[A = \begin{pmatrix} a & b \cr b & c \end{pmatrix} \quad e \quad v = \begin{pmatrix} x \cr y \end{pmatrix}\]

Pergunta: Ser� que podemos escrever \(x\) e \(y\) em fun��o de duas novas vari�veis \(x_1\) e \(y_1\) de modo que a nova forma quadr�tica nas novas vari�veis \(x_1\) e \(y_1\) n�o possui o termo misto \(x_1y_1\) para que a forma quadr�tica esteja na forma can�nica?

Uma resposta adequada � dada pela rota��o de eixos, uma vez que o termo em \(xy\) que aparece na equa��o acima � respons�vel pela inclina��o dos eixos principais associados � curva no sistema cartesiano.

Como a matriz de rota��o de radianos � dada por:

\[R_{\theta} = \begin{pmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \cr \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix}\]

podemos realizar a mudan�a de vari�veis com:

\[v = \begin{pmatrix} x \cr y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \cr \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \cr y_1 \end{pmatrix}\]

Tomando a rela��o acima, podemos escrever:

\[Y = \begin{pmatrix} x_1 \cr y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos(\theta) & \sin(\theta) \cr -\sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \cr y \end{pmatrix} = R_{\theta}^{-1} v\]

Para simplificar um pouco, tomamos \(P=R_{\theta}\) e como esta matriz \(P\) � ortogonal, podemos escrever a rela��o na forma:

\[v^t A v = (PY)^t A (PY) = Y^t P^t A P Y = Y^t (P^{-1} A P) Y = b\]

Escolhendo adequadamente o valor de \(\theta\) em fun��o das constantes \(a\), \(b\) e \(c\) da forma quadr�tica, podemos escrever a matriz:

\[P^{-1}AP = D = \begin{pmatrix} k_1 & 0 \cr 0 & k_2 \end{pmatrix}\]

e a nova forma quadr�tica n�o cont�m o termo misto \(x_1y_1\), pois:

\[k_1 x_1^2 + k_2 y_1^2 = c_1\]

Conclus�o: Os valores \(k_1\) e \(k_2\) s�o os autovalores da matriz \(A\) e a matriz \(P\) � a matriz cujas colunas s�o os autovetores obtidos a partir da matriz \(A\).

8 Aplica��es de autovalores em EDO

Seja a equa��o diferencial ordin�ria (EDO)

\[2y''(x)-6y'(x)+4y(x)=0\]

O polin�mio caracter�stico associado a esta EDO � dado por:

\[p(k)=2k^2-6k+4\]

cujos zeros (autovalores) s�o \(k_1=1\) e \(k_2=2\). Assim, as autofun��es (autovetores) s�o: \(y_1(x)=\exp(k_1 x)\) e \(y_2(x)=\exp(k_2 x)\), garantindo que o conjunto de autofun��es (autovetores) �:

\[W = \{y_1(x), y_2(x)\} = \{\exp(1x), \exp(2x)\}\]

e a solu��o geral da EDO � a combina��o linear dos elementos de W:

\[y(x) = C_1 \exp(1x) + C_2 \exp(2x)\]

Quantos autovalores tem uma matriz?

Como descobrir os autovalores de uma matriz?

Para que servem os autovalores?