Questão 1
No lançamento de dois dados, qual é o número total de possibilidades de resultados e qual é a probabilidade de obtermos soma igual a 8?
a) 36 e 5%
b) 36 e 14%
c) 6 e 5%
d) 5 e 6%
e) 36 e 6%
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Questão 2
Qual é a probabilidade de, no lançamento de 4 moedas, obtermos cara em todos os resultados?
a) 2%
b) 2,2%
c) 6,2%
e) 4%
f) 4,2%
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Questão 3
Duas moedas e dois dados, todos diferentes entre si, foram lançados simultaneamente. Qual é o número de possibilidades de resultados para esse experimento?
a) 146
b) 142
c) 133
d) 144
e) 155
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Questão 4
Qual é o número total de possibilidades de resultado no lançamento de 5 moedas?
a) 2
b) 5
c) 10
d) 24
e) 32
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Respostas
Resposta Questão 1
Primeiramente, vamos descobrir o número total de possibilidades, pois ele será usado para descobrirmos a probabilidade de obter soma 8:
São dois dados com seis resultados possíveis cada. As combinações entre esses resultados podem ser calculadas multiplicando-se o número de resultados do primeiro pelo do segundo:
6·6 = 36
Também poderíamos ter escrito todas as possibilidades e contado-as, mas esse procedimento gasta mais tempo. Portanto, o número total de possibilidades de resultados é 36.
Para calcular a probabilidade de sair soma 8, devemos procurar as possibilidades de obter tal soma. São elas:
2,6; 3,5; 4,4; 5,3 e 6,2
Sendo 5 o número de possibilidades de obter soma 8, divida esse número pelo número total de possibilidades de resultados:
5 = 0,14
36
Para transformar isso em porcentagem, basta multiplicar por 100:
0,14·100 = 14%
A probabilidade de sair soma 8 é 14%.
Gabarito: Letra B.
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Resposta Questão 2
Primeiramente, é necessário encontrar o número total de possibilidades de resultados:
2·2·2·2 = 16
Posteriormente, devemos encontrar o número de possibilidades de obter cara em todos os resultados. Na realidade, só existe uma possibilidade de que isso aconteça.
Por fim, basta dividir o segundo pelo primeiro:
1 = 0,0625
16
Multiplicando 6,25 por 100, para obter um percentual, teremos: 6,25%
Gabarito: Letra C.
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Resposta Questão 3
Para calcular o número de possibilidades de resultados de um experimento nesses moldes, multiplique o número de resultados possíveis de cada objeto em observação. No caso de cada moeda, 2 resultados, e de cada dado, 6 resultados:
2·2·6·6 = 4·36 = 144
Gabarito: Letra D.
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Resposta Questão 4
O número total de resultados que pode ser obtido no lançamento de duas moedas é encontrado multiplicando-se a quantidade de resultados da primeira moeda pela quantidade da segunda e assim por diante. Observe:
2·2·2·2·2 = 32
Portanto, são 32 possibilidades diferentes.
Gabarito: Letra E.
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Problema
(A partir do 2º ano do E. M.- Nível de dificuldade: Médio)
Ana, Beatriz e Cecília estavam estudando juntas e encontraram o seguinte problema formulado pelo professor delas, mestre PC:
Qual é a probabilidade de que a soma dos resultados obtidos ao se lançar dois dados equilibrados e idênticos seja
[tex]7[/tex]?
• Ana analisa a situação e diz:
– Há [tex]36[/tex] casos possíveis para os resultados, dos quais [tex]6[/tex] são favoráveis. Logo, a probabilidade de dar a soma [tex]7[/tex] é [tex]\dfrac{1}{6}[/tex].
• Beatriz discorda:
– Ana, como os dados são idênticos, não faz sentido distinguir os resultados [tex](1, 2)[/tex] e [tex](2, 1)[/tex], por exemplo. Logo, há apenas [tex]21[/tex] casos possíveis, dos quais
[tex]3[/tex] são favoráveis. A probabilidade de dar soma [tex]7[/tex] é, portanto, [tex]\dfrac{1}{7}[/tex].
• Cecília discorda de ambas:
– Vocês duas estão complicando a situação sem necessidade…
Há [tex]11[/tex] somas possíveis (de [tex]2[/tex] a [tex]12[/tex]). Assim, a probabilidade de dar soma [tex]7[/tex] é [tex]\dfrac{1}{11}[/tex].
Imagem extraída de Freepik
Qual das três está certa?
Adaptado do PAPMEM, 2019.
Lembrete:
A probabilidade de um evento ocorrer em um modelo com espaço amostral finito e equiprovável é calculada por:
Probabilidade[tex]\;\;[/tex] = | número de casos favoráveis | . |
número de casos possíveis |
Solução
► Vamos inicialmente acompanhar o raciocínio da Cecília.
É claro que podemos definir o espaço amostral do experimento de "lançar dois dados equilibrados e idênticos e somar os pontos da duas faces voltadas para cima" como [tex]\Omega_1=\{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}[/tex], já que não estamos interessados nos números propriamente ditos que aparecem nas duas faces e sim nas suas somas. O problema é que esse espaço
não é equiprovável!
Observe que temos apenas uma maneira de obtermos soma [tex]2[/tex], saindo [tex]1[/tex] nos dois dados, e mais de uma maneira de obtermos soma [tex]5[/tex], saindo "[tex]1[/tex] e [tex]4[/tex]" e "[tex]2[/tex] e [tex]3[/tex]", entre outras possibilidades. Com isso, [tex]P(\{2\})\ne P(\{5\})[/tex] e [tex]\Omega_1[/tex] não é equiprovável. Dessa forma, não podemos utilizar a razão entre "casos favoráveis" e "casos possíveis" e, portanto, Cecília não
está certa.
► Vamos agora acompanhar o raciocínio da Beatriz.
O espaço amostral definido pela Beatriz pode ser obtido a partir das possíveis combinações de resultados dos números mostrados nas duas faces voltadas para cima dos dados lançados.
[tex]\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Dados}&1&2&3&4&5&6\\
\hline
1&1\text{ e }1&1\text{ e }2&1\text{ e }3&1\text{ e }4&1\text{ e }5&1\text{
e }6\\
\hline
2&\xcancel{2\text{ e }1}&2\text{ e }2&2\text{ e }3&2\text{ e }4&2\text{ e }5&2\text{ e }6\\
\hline
3&\xcancel{3\text{ e }1}&\xcancel{3\text{ e }2}&3\text{ e }3&3\text{ e }4&3\text{ e }5&3\text{ e }6\\
\hline
4&\xcancel{4\text{ e }1}&\xcancel{4\text{ e }2}&\xcancel{4\text{ e }3}&4\text{ e }4&4\text{ e }5&4\text{ e }6\\
\hline
5&\xcancel{5\text{ e }1}&\xcancel{5\text{ e }2}&\xcancel{5\text{
e }3}&\xcancel{5\text{ e }4}&5\text{ e }5&5\text{ e }6\\
\hline\
6&\xcancel{6\text{ e }1}&\xcancel{6\text{ e }2}&\xcancel{6\text{ e }3}&\xcancel{6\text{ e }4}&\xcancel{6\text{ e }5}&6\text{ e }6\\
\hline
\end{array}[/tex]
[tex]\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Dados}&1&2&3&4&5&6\\
\hline
1&1\text{ e }1&1\text{ e }2&1\text{ e }3&1\text{ e }4&1\text{ e }5&1\text{ e }6\\
\hline
2&&2\text{ e }2&2\text{ e }3&2\text{ e }4&2\text{ e }5&2\text{ e }6\\
\hline
3&&&3\text{ e }3&3\text{ e }4&3\text{ e }5&3\text{ e }6\\
\hline
4&&&&4\text{ e }4&4\text{ e }5&4\text{ e }6\\
\hline
5&&&&&5\text{ e }5&5\text{ e }6\\
\hline\
6&&&&&&6\text{ e }6\\
\hline
\end{array}[/tex]
Temos, de fato, [tex]21[/tex] casos
possíveis, mas o espaço amostral da Beatriz não é equiprovável!
Observe que a hipótese de que os dois dados são equilibrados nos garante que o experimento em questão é aleatório, ou seja, nenhuma das faces tem mais chance de sair em um ou em outro dado. Por outro lado, o fato de os dados serem idênticos, ou terem cores diferentes, ou um deles ter uma marquinha em uma de suas faces vai alterar o experimento e as maneiras de obtermos soma [tex]7[/tex]? NÃO!
Assim, por
exemplo,
▬ temos apenas uma maneira de obtermos [tex] 1 \text{ e }1[/tex]: [tex]1[/tex] no primeiro dado e [tex]1[/tex] no segundo dado;
▬ mas temos duas maneiras de obtermos [tex] 1 \text{ e }2[/tex]: [tex]1[/tex] no primeiro e [tex]2[/tex] no segundo dado e [tex]2[/tex] no primeiro e [tex]1[/tex] no segundo dado. (Pense em um dos dados com uma marquinha; são situações diferentes que ocorrem: [tex]1[/tex] no dado com marquinha e [tex]2[/tex] no outro dado e [tex]2[/tex] no dado
com marquinha e [tex]1[/tex] no outro.)
Assim, Beatriz também não está certa.
► Vamos agora acompanhar o raciocínio da Ana:
Podemos definir o espaço amostral do experimento a partir da tabela abaixo, na qual aparecem pares ordenados formados por todas as possíveis combinações de resultados dos números mostrados nas duas faces voltadas para cima.
[tex]\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Dados}&1&2&3&4&5&6\\
\hline
1&(1,1)&(1,2)&(1,3)&(1,4)&(1,5)&(1,6)\\
\hline
2&(2,1)&(2,2)&(2,3)&(2,4)&(2,5)&(2,6)\\
\hline
3&(3,1)&(3,2)&(3,3)&(3,4)&(3,5)&(3,6)\\
\hline
4&(4,1)&(4,2)&(4,3)&(4,4)&(4,5)&(4,6)\\
\hline
5&(5,1)&(5,2)&(5,3)&(5,4)&(5,5)&(5,6)\\
\hline
6&(6,1)&(6,2)&(6,3)&(6,4)&(6,5)&(6,6)\\
\hline
\end{array}[/tex]
Observamos com a tabela que temos [tex]36[/tex] pares ordenados possíveis de números mostrados nas faces voltadas para cima de cada dado e podemos considerar para o experimento o espaço amostral [tex]\Omega_2=\{(1,1);(1,2); (1,3); \ldots ;(6,4); (6,5);(6,6)\}[/tex]. Neste caso, [tex]n\left(\Omega_2\right)=36\,[/tex] e [tex]\;\Omega_2[/tex] é equiprovável, já que os dados são equilibrados.
Utilizando a tabela, vemos que as situações favoráveis a obter soma [tex]7[/tex] são:
[tex]\qquad (1,6)[/tex], [tex](2,5)[/tex], [tex](3,4)[/tex], [tex](4,3)[/tex], [tex](5,2)[/tex] e [tex](6,1)[/tex].
Consequentemente a probabilidade do evento em questão é:
[tex]\qquad \fcolorbox{#6d360f}{#f5d2b8}{$P(\{7\})=\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}$}\\
\,[/tex]
e, portanto, Ana está correta!
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
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