Qual é o valor do juro correspondente a um empréstimo de 3.200 pelo prazo de 18 meses sabendo que a taxa cobrada é de 3% ao mês?

DESCONTO

CONCEITO

A chamada opera��o de desconto normalmente � realizada quando se conhece o valor futuro de um t�tulo (valor nominal, valor de face ou valor de resgate) e se quer determinar o seu valor atual. O desconto deve ser entendido como a diferen�a entre o valor de resgate de um t�tulo e o seu valor presente na data da opera��o, ou seja: D = VF - VP, em que D representa o valor monet�rio do desconto, VF o seu valor futuro (valor assumido pelo t�tulo na data do seu vencimento) e VP o valor creditado ou pago ao seu titular. Assim como no caso dos juros, o valor do desconto tamb�m est� associado a uma taxa e a determinado per�odo de tempo.

Embora seja freq�ente a confus�o entre juros e descontos, trata-se de dois crit�rios distintos, claramente caracterizados. Assim, enquanto no c�lculo dos juros a taxa referente ao per�odo da opera��o incide sobre o capital inicial ou valor presente, no desconto � taxa do per�odo incide sobre o seu montante ou valor futuro.

De maneira an�loga aos juros, os descontos s�o tamb�m classificados em simples e composto, envolvendo c�lculos lineares no caso do desconto simples e exponencial no caso do desconto composto.

O desconto � dividido em:

��������������� a) Desconto Racional (por dentro).

��������������� b) Desconto Comercial (por fora).

a) DESCONTO RACIONAL (por dentro).

Desconto racional simples � aquele aplicado no valor atual do t�tulo n per�odos antes do vencimento, ou seja, � o mesmo que juro simples. N�o ser� dada muita import�ncia a menos de compara��o, pois raramente tem sido aplicado no Brasil.

������� Dr = VF � VP

Onde Dr = Desconto Racional

Como VP = VF /(1+i.n)

Temos:

�b) DESCONTO COMERCIAL OU BANC�RIO (por fora)

Desconto comercial simples � aquele em que a taxa de desconto incide sempre sobre o montante ou valor futuro. � utilizado no Brasil de maneira ampla e generalizado, principalmente nas chamadas opera��es de �desconto de duplicatas� realizadas pelos bancos, sendo, por essa raz�o, tamb�m conhecido por desconto banc�rio ou comercial. � obtido multiplicando-se o valor de resgate do t�tulo pela taxa de desconto e pelo prazo a decorrer at� o seu vencimento, ou seja:

D = VF.d.n

Onde d representa a taxa de desconto e n o prazo. E para se obter o valor presente, tamb�m chamado de valor descontado, basta subtrair o valor do desconto do valor futuro do t�tulo, como segue:

VP = FV � D

Da� vem que:� VP = VF � VF.d.n�� =>� VP = VF.(1. �.d.n)

SITUA��O PROBLEMA:

1. Qual o valor do desconto comercial simples de um t�tulo de R$ 2.000,00, com vencimento para 90 dias, � taxa de 2,5% ao m�s?

Dados:

VF = 2.000,00

n = 90 dias = 3 meses (como a taxa est� em m�s, devemos transformar o per�odo para essa unidade)

d = 2,5% ao m�s

D=?

Solu��o:

�����

D = VF . d . n ��=>� �D = 2.000,00 . 0,025 . 3 = 150,00

2. Qual a taxa mensal de desconto comercial utilizada numa opera��o a 120 dias, cujo valor de resgate � de R$ 1.000,00 e cujo valor atual � de R$ 880,00?

Dados:

VF = 1.000,00

VP = 880,00

n = 120 dias = 4 meses

d=? �

Solu��o:

D = VF � VP = 1.000,00 � 880,00 = 120,00

Isolando a taxa d na f�rmula do desconto temos:

d = D / (VF . n) => d = 0,03� ou seja,� d = 3% ao m�s

3. Uma duplicata no valor de R$ 6.800,00 � descontada por fora, por um banco, gerando um cr�dito de R$ 6.000,00 na conta do cliente. Sabendo-se que a taxa cobrada pelo banco � de 3,2% ao m�s, determinar o prazo de vencimento da duplicata.

Dados:

VF = 6.800,00

VP = 6.000,00

d = 3,2% ao m�s

n =?

Solu��o:

D = VF � VP

D = 6.800,00 � 6.000,00 = 800,00

Isolando o prazo n na equa��o D = VF. d. n, temos n = D/(VF.d) substituindo os valores resulta que:

n = 3,676 meses, ou seja 110 dias

4. Calcular o valor l�quido creditado na conta de um cliente, correspondente ao desconto por fora de uma duplicata no valor R$ 34.000,00, com prazo de 41 dias, sabendo-se que o Banco est� cobrando nessa opera��o uma taxa de desconto de 4,7% ao m�s.

Dados:

VF = 34.000,00

d = 4,7% ao m�s

n = 41 dia

Solu��o:

Como nesse problema a taxa e o prazo n�o est�o na mesma unidade de tempo (a taxa � mensal e o prazo est� expresso em n�mero de dias), basta, para compatibiliz�-los, dividir um dos dois por 30, como segue:

D = VF.d.n

D= 34000 . 0,047 . 41/30

D = 2.183,93

Como VP = VF � D, tem-se:

VP = 34.000,00 � 2.183,93 = 31.816,07

5. O desconto de uma duplicata gerou um cr�dito de R$ 70.190,00 na conta de uma empresa. Sabendo-se que esse t�tulo tem um prazo a decorrer de 37 dias at� o seu vencimento e que o Banco cobra uma taxa de desconto de 5,2% ao m�s nessa opera��o, calcular o valor da duplicata.

�Dados:

VP = 7.608,00

d = 5,2% ao m�s

n = 138 dias = 138/30 meses

VF=?

Solu��o:������ D = VF . d . n

Como nessa equa��o n�o ternos valores definidos para duas vari�veis, D e VF, � imposs�vel obter-se a solu��o desse problema somente atrav�s dela. Entretanto, como sabemos que D=VF-VP, a substitui��o desta naquela equa��o nos permite obter o valor da duplicata, como segue:

�VF � VP = S.d.n� =>� VP = VF � VF.d.n� =>� VP = VF (1 - d.n)�� => VF = VP/(1 - d.n)

Assim, temos:��������� VF = 10.000,00

������ ��������

6. No caso do exemplo anterior, calcular a taxa mensal de juros correspondente �quela opera��o, de acordo com o crit�rio de juros compostos.

Dados:

P = 7.608,00

S = 10.000,00

n = 138 dias

i= ?

A solu��o pode ser obtida a partir da f�rmula do JURO COMPOSTO VF= VP (1+i)n. Como a taxa informada � mensal e o prazo � dado em n�mero de dias, basta dividir este por 30 para express�-lo em n�mero de meses e assim compatibilizar as duas vari�veis. Substituindo na equa��o do montante, ternos:

VF= VP (1 + i)n

10.000 = 7.608 (1 + i)(138/30)

(1 + i)(138/30) = 1,06853

1 + i� = (1,06853 )(30/138)

i = 1,06123 - 1 = 0,06123 ou 6,123% ao m�s

TAXA IMPL�CITA

Quando o desconto (taxa) � aplicado sob o valor futuro, para com isto obter o valor atual, a uma determinada taxa � X, por�m com o valor atual � a taxa X n�o se obt�m o valor futuro inicial. Com isto observamos que existe uma taxa impl�cita na opera��o que � maior que a taxa de desconto.

i = y% a per�odo (taxa de juro)

d = x% a per�odo (taxa de desconto)

Devemos aplicar uma taxa y ao valor do t�tulo com desconto e chegar ao valor do t�tulo, usando capitaliza��o simples.

VF=VP.(1+i.n)������ (a)

Temos ainda que o valor do t�tulo com desconto � dado por VP=VF (1 � d.n)����� (b)

Isolando VF em (b) e substituindo em (a) temos: VP/(1 � d.n) = VP(1 + i.n)

Resultando:� i = d/(1 � d.n)

Onde:

��� i = taxa efetiva;

�� d = taxa de desconto;

�� n = n�mero de per�odos.

Situa��o Problema:

7. Um t�tulo que possui uma taxa de desconto de 4% ao m�s durante 6 meses. Qual � a taxa real de juro simples?

Dados:

d = 4% a.m.;

n=6 meses

Usando a f�rmula acima temos:

i = 0,04 / (1 - 0,04 . 6)

i = 5,263% ao m�s.

C�LCULO DO VALOR DO DESCONTO SIMPLES PARA S�RIES DE T�TULOS DE MESMO VALOR

Vamos admitir que sejam apresentados a um banco 5 t�tulos, no valor de R$ 1.000,00 cada um, com vencimentos de 30 a 150 dias (de 1 a 5 meses) respectivamente, para serem descontados. Sabendo-se que a taxa de desconto cobrada pelo banco � de 3% ao m�s, calcular o valor do desconto global e o valor l�quido correspondente a ser creditado na conta do cliente. As novas vari�veis ser�o representadas pelos seguintes s�mbolos:

Dt = valor do desconto total = D1 + D2 + ... + Dn

N = n�mero de t�tulos (ou presta��es)

S = Valor de cada t�tulo

Pt= valor l�quido total dos t�tulos = N x S - Dt

a) Obten��o do desconto global, a partir do c�lculo individual, para cada t�tulo:

�

Sendo��������� D = S.d.n, tem - se que:

D1 = 1.000,00 x 0,03 x 1 = 30,00

D2 = 1.000,00 x 0,03 x 2 = 60,00

D3 = 1.000,00 x 0,03 x 3 = 90,00

D4 = 1.000,00 x 0,03 x 4 = 120,00

D5 = 1.000,00 x 0,03 x 5 = 150,00

Logo:�� Dt = 30,00 + 60,00 + 90,00 + 120,00 + 150,00 = 450,00

b) Dedu��o de uma f�rmula que possibilita obter o desconto total de forma simplificada.

Com base no desenvolvimento feito no item anterior, podemos escrever:

Dt = D1 + D2 + D3 + D4 + D5

Dt =1.000 x 0,03 x 1 + 1.000 x 0,03 x 2 + 1.000 x 0,03 x 3 + 1.000 x 0,03 x 4 + 1.000 x 0,03 x 5

Dt= (1.000, x 0,03) x (1+ 2 + 3 + 4 + 5)

Aplicando-se a f�rmula que d� a soma dos termos de uma progress�o aritm�tica (PA):

SPA = (t1 + tn)N / 2

em que t1 representa o prazo do t�tulo que vence primeiro, tn o prazo do t�tulo que vence por �ltimo e N o n�mero de t�tulos, ternos:

Dt = (1.000 . 0,03) . (1+5).5 / 2� ������������ ����������� (1)

Dt= 1.000,00 . 0,03 . 15 = 450,00.

O valor l�quido creditado na conta do cliente seria:

Pt = S . N � Dt

Pt = 1.000,00 . 5 - 450,00 = 4.550,00

Substituindo na express�o (1) cada n�mero pelo seu s�mbolo correspondente, ternos:

Dt = S . d . (t1 + tn) N / 2�������� ou�������� Dt = S . N . d . (1 + tn)/2

em que a express�o (t1 + tn)/2 representa o prazo m�dio dos t�tulos descontados.

Essa f�rmula somente � v�lida para desconto de s�ries de t�tulos ou de presta��es com valores iguais, de vencimentos sucessivos e de periodicidade constante a partir do primeiro vencimento. Quando os vencimentos ocorrem no final dos per�odos unit�rios, a partir do primeiro, a f�rmula para determinar o desconto total de uma s�rie de t�tulos pode ser escrita como segue:

Dt = S.N.d.(1 + tn)/2

em que tn, que representa o prazo expresso em n�mero de per�odos unit�rios (m�s, bimestre, ano etc.) referente ao t�tulo que vence por �ltimo, ser� sempre igual ao n�mero de t�tulos N.

� importante lembrar que o per�odo unit�rio da taxa deve estar sempre coerente com o per�odo unit�rio do prazo, isto �, se na f�rmula de c�lculo os prazos forem representados em meses, trimestres ou anos, a taxa de desconto tamb�m deve ser representada em termos de taxa mensal, trimestral ou anual, respectivamente.

Exemplos:

1. Calcular o valor l�quido correspondente ao desconto banc�rio de 12 t�tulos, no valor de R$ 1.680,00 cada um, venc�veis de 30 a 360 dias, respectivamente, sendo a taxa de desconto cobrada pelo banco de 2,5% ao m�s.

Dados:

S = 1.680,00

N = tn = 12

d = 2,5%

Pt = ?

Solu��o:

Dt = S.N.d.(1 + tn) / 2

Dt = 3.276,00

Pt = S . N - Dt = 20.160,00 - 3.276,00 = 16.884,00

2. Quatro duplicatas, no valor de R$ 32.500,00 cada uma, com vencimentos para 90, 120, 150 e 180 dias, s�o apresentadas para desconto. Sabendo-se que a taxa de desconto cobrada pelo banco � de 3,45% ao m�s, calcular o valor do desconto.

Dados:

S = 32.500,00

N = 4

d = 3,45% ao m�s

t1 = 90 dias = 3 meses

tn = 180 dias = 6 meses

DT = ?

Solu��o:

DT = S.N.d.(t1 + t2) /2

DT = 20.182,50�

RELA��O ENTRE TAXA DE DESCONTO NO PER�ODO E JURO COMPOSTO.

Se um produto � vendido a R$ 100,00 para 63 dias, qual o desconto que o fornecedor pode conceder na venda a vista, se ele pratica uma taxa de juros composto de 5,0% a.m.?

Podemos calcular a taxa de desconto igualando as equa��es VP=VF/(1+i)n da capitaliza��o composta e VP=VF(1 - d.n) do desconto comercial, chegando a:

�

como n = 63/30 =2,1 meses

�

Chegamos que:

d = 0,04637 ~ 4,637% a.m. (taxa de desconto)

Como o comprador, ao receber a oferta de desconto de 4,637% ao m�s na compra a vista poder� calcular a taxa mensal de juro composto praticada pelo fornecedor, no caso acima?

Da mesma maneira acima, poderemos chegar � equa��o para calcular a taxa de juro:

donde chegamos que i = 0,05 ou 5%

DESCONTO COMERCIAL COMPOSTO

Se a um produto no valor de R$ 100,00 forem concedidos dois descontos de 20%, o l�quido ser� de R$ 64,00. De fato, com o primeiro desconto de 20% o valor liquido ser� de R$ 80,00, e com o segundo desconto de 20%, agora sobre R$ 80,00, o valor l�quido passa a ser de R$ 64,00. A equa��o do valor l�quido no caso do desconto composto poder� ser deduzida a partir do desconto simples.

Chega-se a equa��o����� VP = VF(1 - d)n������������� (3)

onde VP � o valor atual, VF � o valor nominal do t�tulo, d � a taxa de desconto e n prazo a decorrer at� o vencimento.

Na pr�tica, por�m, dificilmente ser� constatada a aplica��o do desconto composto tal como aqui colocado. No entanto, se um fornecedor tivesse cobrado 25% a.m. de juros na venda a 30 dias, na venda a vista poderia conceder 20% de desconto. Essa rela��o entre taxa de juros e taxa de desconto j� foi descrita anteriormente.

Al�m disso, se esse mesmo fornecedor vendesse a 60 dias, certamente cobraria um acr�scimo de 56,25% a.p. de juros. Se fizermos a equival�ncia de taxa obteremos a taxa de desconto de 36% a.p., que � exatamente o desconto composto aplicado na apura��o do valor l�quido de R$ 64,00 que resulta o exemplo acima.

Notemos tamb�m, que se aplicarmos a eq. (1) com as informa��es acima, obteremos:

d = 0,36 ou 36% a.p.

Portanto o uso do desconto composto � comum na pr�tica comercial brasileira, por�m comp�e-se a taxa de desconto para o per�odo antes de inform�-la. Como no exemplo aqui demonstrado, concede-se 36% ao bimestre em vez de dois descontos sucessivos de 20% a.m.

Qual será o valor do juro correspondente a um empréstimo?

Qual o valor dos juros correspondente a um empréstimo de R$ 37.200 00 realizado pelo prazo de 4 bimestres a taxa de 91 2 AA?

Qual é o valor dos juros correspondente a um empréstimo de R$ 5.000 00pelo prazo de 5 meses Sabendo

Qual é o valor do juro correspondente a um empréstimo de R$ 600 pelo prazo de 15 meses com uma taxa de 3% ao mês?