Como a massa afeta a aceleração produzida por uma força resultante?

A PRIMEIRA LEI DE NEWTON

Newton com base nas idéias de Galileu, estabelece a primeira lei do movimento, também conhecida como Lei da Inércia:

"Qualquer corpo permanece no estado de repouso ou de movimento retilíneo uniforme se a resultante das forças que atuam sobre esse corpo for nula".

Assim, se o corpo estiver em repouso continuará; em repouso; se estiver em movimento, continuará o seu movimento em linha reta e com velocidade constante.

A SEGUNDA LEI DE NEWTON

A segunda lei de Newton, explica o que acontece ao corpo quando a resultante das forças é diferente de zero.

Imagine que empurra uma caixa sobre uma superfície lisa (pode-se desprezar a influência de atrito). Quando se exerce uma certa força horizontal F, a caixa adquire uma aceleração a. Se aplicar uma força duas vezes superior, a aceleração da caixa também será 2 vezes superior e assim por diante. Ou seja, a aceleração de um corpo é diretamente proporcional à força resultante que sobre ele atua.

Entretanto, a aceleração de um corpo também depende da sua massa. Imagine, que se aplica uma  for�a F a um corpo com massa 2 vezes maior. A aceleração produzida será, então, a/2. Se a massa triplicar, a mesma força aplicada irá produzir uma aceleração a/3. E assim por diante. De acordo com esta observação, conclui-se que: a aceleração de um objeto é inversamente proporcional à sua massa.

A 2a Lei de Newton pode enunciar-se do seguinte modo:

A aceleração adquirida por um corpo é diretamente proporcional à intensidade da resultante das forças que atuam sobre o corpo, tem direção e sentido dessa força resultante e é inversamente proporcional à sua massa.

A segunda lei de Newton também conhecida por Lei Fundamental da Dinâmica pode ser expressa matematicamente por:

Como a massa é expressa em Kg e a aceleração, em m/s2, a unidade SI de for�a será kg.m/s2, e é chamada de Newton (N).

A TERCEIRA LEI DE NEWTON

Quando um sistema interage com outro sistema, exercem-se sempre forças simultâneas que têm:

�         a mesma linha de ação;

�         a mesma intensidade;

�         sentidos opostos.

No entanto, estas forças estão aplicadas em corpos diferentes, nunca se anulam.

F12 = - F21

Diz-se, sempre que se verifique uma interação, as forças atuam aos pares. As duas forças que interagem constituem um par ação-reação. É indiferente considerar qualquer delas como ação ou reação.

A 3a Lei de Newton pode enunciar-se do seguinte modo:

Quando dois corpos interagem, a força que o corpo 1 exerce sobre o corpo 2 é igual e oposta à força que o corpo 2 exerce sobre o corpo 1

Imagine um corpo em queda livre. O peso (P = m � g , g � a aceleração da gravidade aproximadamente 9,8 m/s� ) deste corpo é a for�a exercida pela Terra sobre ele. A reação a esta for�a é a for�a que o corpo exerce sobre a Terra, P' = - P. A for�a de reação, P', deve acelerar a Terra em direção ao corpo, assim como a força de ação, P, acelera o corpo em direção à Terra. Entretanto, como a Terra possui uma massa muito superior à do corpo, a sua aceleração é muito inferior à do corpo (veja a 2a Lei).

Transcrição do vídeo

Segunda Lei de Newton: Massa Variável

Neste vídeo, aprenderemos como usar a diferenciação para a segunda lei do movimento de Newton de uma partícula com massa variável. Vamos começar lembrando a segunda lei do movimento de Newton, definindo-a para um corpo de massa constante.

Quando uma força resultante atua em um corpo, esse corpo acelera na direção da força. A equação que descreve o vínculo entre a aceleração e a força é 𝐹 igual a 𝑚𝑎, onde 𝐹 é a força, 𝑚 é a massa constante do corpo e 𝑎 é sua aceleração. Agora, vale a pena notar que também podemos expressar a segunda lei de Newton em termos do momento linear do corpo. Agora, o momento de um corpo 𝑃 é igual a sua massa 𝑚 multiplicada por sua velocidade 𝑣. A segunda lei de Newton nos diz que a força aplicada a um corpo é igual à taxa de variação do momento do corpo. Então, 𝐹 é igual a d𝑃 por d𝑡.

Podemos substituir 𝑚𝑣 nesta equação. Como estamos olhando para a segunda lei de Newton para massa constante, esse 𝑚 em nossa equação será uma constante. E assim, podemos trazê-la para a frente de nossa equação. Agora temos que 𝐹 é igual a 𝑚d𝑣 por d𝑡. Agora, sabemos que d𝑣 por d𝑡 é simplesmente a taxa de variação da velocidade, que é igual à aceleração ou 𝑎. Então, chegamos a 𝐹 igual a 𝑚𝑎, que é a equação com a qual estamos familiarizados.

Agora, embora tenhamos usado quantidades vetoriais aqui, vale a pena notar que, se o movimento for linear, podemos usar magnitudes escalares em vez de vetores em nossos cálculos. Vamos agora ver o que aconteceria se quisermos usar a segunda lei de Newton com massa variável. E sabemos que a força 𝐹 é igual à taxa de variação do momento d𝑃 por d𝑡, onde o momento é igual à massa multiplicada pela velocidade. Desta vez, 𝑚 e 𝑣 são variáveis. Então, para diferenciar 𝑚𝑣, precisaremos usar a regra do produto. Ao fazer isso, obtemos que 𝐹 é igual a 𝑚d𝑣 por d𝑡 mais 𝑣d𝑚 por d𝑡. Chegamos à fórmula que usaremos para resolver problemas com massas variáveis. Também podemos usar a fórmula no estágio antes de realizar a diferenciação. Então, 𝐹 é igual a d por d𝑡 de 𝑚𝑣.

Outra coisa que podemos notar é que na fórmula 𝐹 é igual a 𝑚d𝑣 por d𝑡 mais 𝑣d𝑚 por d𝑡. O termo 𝑚d𝑣 por d𝑡 é equivalente ao lado direito da fórmula da segunda lei de Newton com massa constante; isso é 𝐹 igual a 𝑚𝑎. Quando estamos lidando com massa variável, temos esse termo extra de 𝑣d𝑚 por d𝑡. E isso faz sentido, pois se 𝑚 é constante, então d𝑚 por d𝑡 é igual a zero e esse segundo termo desaparece, deixando-nos com 𝐹 igual a 𝑚𝑎. Vamos agora ver um exemplo de como podemos resolver um problema envolvendo massa variável.

Preencha o espaço em branco. A força que atua sobre uma massa variando de acordo com a função 𝑚 de 𝑡 é igual a cinco mais dois 𝑡 quilogramas e se movendo a uma velocidade constante de quatro metros por segundo é em branco.

Agora, lembre-se de que a força que atua em um corpo com massa variável é igual à taxa de variação do momento, de modo que é 𝑚d𝑣 por d𝑡 mais 𝑣d𝑚 por d𝑡. Como a velocidade é escalar, usaremos a equação escalar da segunda lei de Newton para massa variável em vez da forma vetorial. A questão nos deu uma função para a massa e um valor para a velocidade. Temos que 𝑚 é igual a cinco mais dois 𝑡 quilogramas e 𝑣 é igual a quatro metros por segundo. Precisamos diferenciar ambos em relação a 𝑡. Começando com 𝑚, quando derivamos a constante cinco, obtemos zero. E quando diferenciamos os dois 𝑡, obtemos dois. Portanto, d𝑚 por d𝑡 é igual a dois. Agora, temos que 𝑣 é igual a quatro, que é uma constante. Então, quando o diferenciamos, obtemos zero.

Agora podemos substituir esses valores em nossa equação por 𝐹. Temos que 𝐹 é igual a cinco mais dois 𝑡 multiplicado por zero mais quatro multiplicado por dois. Como a primeira vez é tudo multiplicado por zero, isso desaparecerá. E assim, ficamos com 𝐹 que é igual a oito newtons. E aqui, chegamos à nossa solução, que é que um corpo com uma massa inicial de cinco quilogramas que aumenta a dois quilogramas por segundo que está se movendo a uma velocidade constante de quatro metros por segundo deve ter uma força constante agindo sobre ele de oito newtons. Também podemos notar aqui que a massa inicial do corpo não afeta a força necessária para manter essa velocidade constante. A única coisa que importa é a taxa de variação da massa.

Vamos agora passar para o nosso segundo exemplo, onde veremos um sistema em que a massa e a velocidade são funções do tempo.

Um corpo se move em linha reta. No tempo de 𝑡 segundos, seu deslocamento de um ponto fixo é dado por 𝑠 é igual a seis 𝑡 ao quadrado mais nove 𝑡 metros. Sua massa varia com o tempo, de modo que 𝑚 é igual a oito 𝑡 mais nove quilogramas. Escreva uma expressão para a força que atua no corpo no tempo 𝑡.

Agora, nesta questão, somos solicitados a encontrar a força que atua no corpo; no entanto, temos que 𝑚 é igual a oito 𝑡 mais nove quilogramas. Isso significa que 𝑚 é uma variável. Então, para encontrar essa força, precisaremos usar a segunda lei de Newton para massa variável. A segunda lei de Newton nos diz que 𝐹 é igual à taxa de variação do momento ou 𝑚d𝑣 por d𝑡 mais 𝑣d𝑚 por d𝑡. Podemos começar considerando a massa. Temos que 𝑚 é igual a oito 𝑡 mais nove. Nós também precisaremos de d𝑚 por d𝑡, então vamos diferenciar isso.

Temos que d𝑚 por d𝑡 é igual a oito. Agora, nesta questão, recebemos o deslocamento do corpo 𝑠 em vez de sua velocidade. No entanto, sabemos que a velocidade é igual à taxa de variação do deslocamento, então 𝑣 é igual a d𝑠 por d𝑡. Então, para encontrar 𝑣, precisamos derivar seis 𝑡 ao quadrado mais nove 𝑡 em relação a 𝑡. Descobrimos que 𝑣 é igual a 12𝑡 mais nove. Agora, precisaremos diferenciar isso novamente para encontrar d𝑣 por d𝑡. Ao derivar 12𝑡 mais nove em relação a 𝑡, descobrimos que d𝑣 por d𝑡 é igual a 12.

Agora temos todos os componentes para substituir em nossa fórmula para encontrar a força 𝐹. Temos que 𝐹 é igual a oito 𝑡 mais nove multiplicado por 12 mais 12𝑡 mais nove multiplicado por oito. Expandindo os parênteses, temos 96𝑡 mais 108 mais 96𝑡 mais 72. Simplificando isso, chegamos à nossa solução, que é que a força 𝐹 é igual a 192𝑡 mais 180 newtons. Observe que, neste caso, 𝐹 é uma força dependente do tempo.

No próximo exemplo, vamos ver como podemos reverter esse processo e usar a fórmula da segunda lei de Newton com massa variável para encontrar a taxa de variação da massa de um corpo.

Uma bola metálica se move em linha reta com uma velocidade constante de magnitude um metro por segundo. Ela entra em um meio empoeirado. Se a força que atua na bola em qualquer instante é de 10 dinas, encontre a taxa de variação da massa da bola devido à aderência da poeira à sua superfície.

A primeira coisa a considerar aqui é o que nos foi pedido para encontrar, e essa é a taxa de variação da massa da bola. Isso implica que a bola não tem massa constante; portanto, precisaremos usar a segunda lei de Newton para massas variáveis. A segunda lei de Newton para massas variáveis nos diz que 𝐹 é igual a 𝑚d𝑣 por d𝑡 mais 𝑣d𝑚 por d𝑡. O que nos foi pedido para encontrar é d𝑚 por d𝑡. Vamos considerar as informações que a pergunta nos deu.

Sabemos que a velocidade da bola é de um metro por segundo, e essa é uma velocidade constante. Portanto, d𝑣 por d𝑡 será igual a zero. Também nos foi dado que a força que atua na bola é de 10 dinas. Para facilitar nossos cálculos, precisamos converter isso em newtons. Temos que um dine é igual a 10 elevado a menos cinco newtons. Então, nossa força é igual a 10 multiplicada por 10 elevado a menos cinco newtons ou 10 elevado a menos quatro newtons. Agora, como d𝑣 por d𝑡 é igual a zero, o primeiro termo em nossa fórmula para encontrar a força também será igual a zero. Então, no caso desta questão com a velocidade constante, temos que a força 𝐹 é igual à velocidade 𝑣 multiplicada pela taxa de variação da massa d𝑚 por d𝑡.

Substituindo em nossos valores 𝐹 e 𝑣, podemos ver que 10 elevado a menos quatro é igual a um multiplicado por d𝑚 por d𝑡. Ou poderíamos escrever d𝑚 por d𝑡 é igual a 10 elevado a menos quatro. Agora, vamos considerar as unidades desse valor. Nossa velocidade 𝑣 está em metros por segundo e nossa força 𝐹 está em newtons. Isso nos diz que essa taxa de variação de massa será em quilogramas por segundo. Agora, sabemos que um quilograma é igual a 10 gramas ao cubo. Portanto, podemos escrever que d𝑚 por d𝑡 é igual a 10 elevado a menos quatro multiplicado por 10 gramas ao cubo por segundo. Isso simplifica para 10 elevado a menos um grama por segundo, que também pode ser escrito como d𝑚 por d𝑡 é igual a 0,1 gramas por segundo. E esta é a solução para essa questão; ou seja, a taxa de variação de massa da bola devido à aderência da poeira à sua superfície é de 0,1 grama por segundo.

Este exemplo nos deu uma ideia de que tipo de processo físico pode causar o aumento da massa do corpo. Essencialmente, o corpo pode acumular massa com a qual faz contato se fizer parte do meio pelo qual está percorrendo. De maneira semelhante, um corpo pode reduzir em massa, por exemplo, um foguete expelindo combustível. Vamos ver o que isso pode parecer no próximo exemplo.

Um foguete estava subindo verticalmente, projetando seu combustível queimado a 3.600 quilômetros por hora verticalmente para baixo. Dado que, para cada oito segundos, ele expeliu três quilos de combustível, encontre a força de elevação gerada pelo motor do foguete.

Agora, fomos solicitados a encontrar a força gerada pelo motor do foguete. E também podemos ver que a massa do foguete está variando, pois está expelindo combustível. Portanto, precisaremos usar a segunda lei de Newton para a massa variável, que nos diz que 𝐹 é igual a 𝑚d𝑣 por d𝑡 mais 𝑣d𝑚 por d𝑡.

Agora, quando olhamos um pouco mais de perto a questão, podemos notar que as informações que recebemos são de fato sobre o combustível e não o foguete. Somos informados de que ele está projetando seu combustível queimado a 3600 quilômetros por hora e que a cada oito segundos três quilos de combustível são expulsos. Isso significa que, se estivermos calculando usando esses valores, encontraremos a força que atua sobre o combustível que é expulso do foguete. Essa força 𝐹 estará agindo verticalmente para baixo.

Agora, a fim de encontrar a força de elevação que impulsiona o foguete verticalmente para cima, podemos usar a terceira lei de Newton, que nos diz que essa força será igual e oposta à força do combustível sendo projetado verticalmente para baixo. Portanto, será uma força com a mesma magnitude 𝐹 agindo verticalmente para cima.

Então, vamos usar a segunda lei de Newton para massa variável para encontrar a força que atua no combustível, que está sendo expelida verticalmente para baixo. Temos que a velocidade do combustível será de 3600 quilômetros por hora. No entanto, como isso está agindo verticalmente para baixo, podemos escrever isso como menos 3600 quilômetros por hora. As unidades dessa velocidade são quilômetros por hora. No entanto, como queremos trabalhar em quilogramas, metros, segundos e newtons, precisamos converter essa velocidade em metros por segundo. Como existem 1000 metros em um quilômetro e 3600 segundos em uma hora, precisamos multiplicar os menos 3600 por 1000 sobre 3600. Então, nossa velocidade é negativa em 1000 metros por segundo.

Como 𝑣 é uma constante, quando a diferenciamos para encontrar d𝑣 por d𝑡, veremos que é igual a zero. Portanto, quando o substituímos em nossa fórmula, isso fará com que o primeiro termo seja igual a zero. Devido a essa velocidade constante, podemos reescrever nossa fórmula para a força, pois 𝐹 é igual a 𝑣d𝑚 por d𝑡. Acabamos de encontrar 𝑣; portanto, a única coisa que precisamos encontrar 𝐹 é d𝑚 por d𝑡. Essa é a taxa de variação da massa.

Somos informados de que a cada oito segundos o foguete expeliu três quilos de combustível. Como estamos considerando a força que atua sobre o combustível que está sendo expelido do foguete, essa afirmação nos diz que a massa de combustível que foi expelida está aumentando em três quilogramas a cada oito segundos. Para encontrar a taxa de combustível sendo expelido a cada segundo, simplesmente precisamos dividir os três quilogramas pelos oito segundos. Portanto, a taxa de variação da massa é igual a três sobre oito quilogramas por segundo.

Agora podemos substituir esse valor junto com a velocidade em nossa equação para a força. A força é, portanto, igual a menos 1000 multiplicado por três sobre oito, o que simplifica para menos 375 newtons. Aqui, quase alcançamos nossa solução. No entanto, esta é a força que atua sobre o combustível que foi expulso do foguete. A força do elevador gerada pelos motores do foguete será igual e oposta a essa força. Nossa solução é que a força de elevação seja igual a 375 newtons.

Agora vimos uma variedade de exemplos. Vamos recapitular alguns pontos importantes do vídeo.

Pontos Chave.

A segunda lei do movimento de Newton para massa variável nos diz que a força é igual à taxa de variação do momento. Então, 𝐹 é igual a d𝑃 por d𝑡, que também é igual a d por d𝑡 de 𝑚𝑣. Usando a regra do produto, também podemos descobrir que 𝐹 é igual a 𝑚d𝑣 por d𝑡 mais 𝑣d𝑚 por d𝑡. Quando o movimento é linear e nossos valores são dados como escalares e não vetores, podemos usar a fórmula escalar de 𝐹 é igual a 𝑚d𝑣 por d𝑡 mais 𝑣d𝑚 por d𝑡.

Qual a relação da aceleração com a massa é a força?

Quando uma força resultante atua sobre um corpo a aceleração é?

Quanto maior a massa menor a aceleração?

O que é aceleração é qual é a relação dela com a massa é força Cite um exemplo?