Duas escadas estão encostadas em dois muros, como mostra na figura abaixo

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�SIMULADO 12 – Matemática
9º Ano – Ensino Fundamental
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Escola: _______________________
Professor:__________________ Série: _____
Nome: _________________________________
D1 –––––––––– QUESTÃO 01 ––––––––––
Observe abaixo a representação de parte do mapa de uma cidade planejada. 
Mário saiu da praça central e, orientando-se por esse mapa, caminhou 4 quadras na direção oeste e, depois, 2 quadras na direção norte. Diante do exposto acima, aonde Mário parou:
a) Posto de saúde.
b) Farmácia.
c) Posto de gasolina.
d) Escola.
D3 –––––––––– QUESTÃO 02 ––––––––––
Duas escadas estão encostadas em dois muros, como mostra na figura a seguir. 
Quanto medem os ângulos formados pela escada maior e menor encostadas no muro. 
(A) 90º e 90º.
(B) 50º e 48º.
(C) 40º e 42º.
(D) 3º e 2º.
D6 –––––––––– QUESTÃO 03 ––––––––––
Um navio pirata faz as seguintes mudanças de direção como mostra a figura a seguir:
As mudanças de direção que formam ângulos retos estão representadas nos vértices:
(A) C e D.
(B) A e D.
(C) E e F.
(D) D e F.
D12 –––––––––– QUESTÃO 04 ––––––––––
Rodrigo reservou em sua chácara um terreno de forma retangular para o plantio de flores. Para cercá-lo ele utilizou tela e um portão de 2m de madeira. 
Rodrigo gastará quanto metros de tela:
(A) 130m.
(B) 132m
(C) 67m.
(D) 1080m.
D13 –––––––––– QUESTÃO 05 ––––––––––
O jardim da Renata tem formato da figura abaixo. 
Usando como unidade de área o quadradinho da malha, conclui-se que a área da região sombreada é:
(A) 13.
(B) 14.
(C) 15.
(D) 16,5.
D16 –––––––––– QUESTÃO 06 ––––––––––
Na reta numérica da figura abaixo, o ponto G corresponde ao número inteiro 1 e o ponto H, ao número inteiro 2.
Nessa reta, o ponto correspondente ao inteiro 5 é:
(A) a letra K.
(B) a letra B.
(C) a letra L
(D) a letra I.
D18 –––––––––– QUESTÃO 07 ––––––––––
O professor de matemática escreveu a seguinte expressão numérica no quadro negro. 
Então, o valor de K é:
 (A) 
. (B) 2 (C) 9 (D) – 2.
D20 –––––––––– QUESTÃO 08 ––––––––––
Um comerciante fez três vendas e teve prejuízo de R$ 16,00 na primeira venda, prejuízo de R$ 23,00 na segunda e lucro de R$ 45,00 na terceira. 
Podemos calcular o saldo resultante dos três negócios efetuados desta maneira:
(A) –16 + (–23) + 45 = 6.
(B) –16 – 23 – 45 = – 84.
(C) 16 – 23 + 45 = 84.
(D) –16 + 23 – 45 = – 38.
D28 –––––––––– QUESTÃO 09 ––––––––––
Na vitrine de uma loja estava expresso o seguinte anuncio. 
Diante da propaganda, na compra à vista, o valor pago é:
(A) R$ 30,00.
(B) R$ 14,00.
(C) R$ 80,00.
(D) R$ 26,00.
D30 –––––––––– QUESTÃO 10 ––––––––––
A fórmula 
 serve para converter a temperatura Fahrenheit (ºF) em Celsius (ºC) ou vice-versa. 
O termômetro acusar C = 100ºC, o valor da temperatura em Fahrenheit (ºF) é:
(A) 212 ºF.
(B) 237 ºF.
(C) 52 ºF.
(D) 100 ºF. 
D36 –––––––––– QUESTÃO 11 ––––––––––
O gráfico abaixo mostra como a temperatura média no estado do Rio de Janeiro variou durante 50 horas seguidas. Registros desse tipo são continuamente obtidos pelo Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais. (Adaptação). 
Segundo o gráfico acima, a temperatura mínima registrada nesse período foi de:
(A) 14 ºC
(B) 15 ºC
(C) 16 ºC
(D) 17 ºC
D37 –––––––––– QUESTÃO 12 ––––––––––
Em uma pesquisa sobre atendimento médio, foi perguntado a um grupo de pessoas sobre o que eles fariam caso fossem mal atendidos em uma consulta médica. Os resultados estão registrados no gráfico de barras a seguir:
De acordo com os dados desse gráfico, o quadro que representa essas informações é: 
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Problema
(A partir do 9º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio)

Seu Horácio tem duas escadas com o mesmo tamanho.
Ele apoiou cada uma delas na parte superior de dois muros paralelos, distantes [tex]5[/tex] metros um do outro, conforme ilustra a figura abaixo.

Sabendo que um dos muros tem altura [tex]2[/tex] metros e o outro [tex]3[/tex] metros, qual o comprimento das escadas?

Lembrete

Teorema de Pitágoras: Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos.

Solução 1

Considere [tex]A, \, B, \, C, \, D[/tex] os pontos superiores e inferiores dos dois muros na vista lateral ilustrada na figura abaixo. Considere também na mesma vista lateral o ponto [tex]E[/tex] que corresponde ao encontro dos pés das duas escadas. Dessa forma, se [tex]c[/tex] é o comprimento em metros de cada escada, ficam definidos os triângulos retângulos [tex]ACE[/tex] e [tex]BDE[/tex] ilustrados na imagem a seguir.

Aplicando o Teorema de Pitágoras aos triângulos retângulos [tex]ACE[/tex] e [tex]BDE[/tex], obtemos respectivamente:
[tex]\qquad \qquad c^2=9+a^2\qquad [/tex] e [tex]\qquad c^2=4+b^2[/tex]
donde segue que:
[tex]\qquad \qquad 4+b^2=9+a^2.\qquad \qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
Mas os muros são paralelos e distantes [tex]5[/tex] metros um do outro; assim, [tex]a+b=5[/tex]. Logo, [tex]a=5-b[/tex] e segue de [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] que:
[tex]\quad 4+b^2=9+(5-b)^2[/tex]
[tex]\quad 4+\cancel{b^2}=9+25-10b+\cancel{b^2}[/tex]
[tex]\quad 10b=34-4[/tex]
[tex]\quad 10b=30[/tex]
[tex]\quad \boxed{b=3 \, m} \, .[/tex]
Como [tex]c^2=4+b^2[/tex], temos que:
[tex]\quad c^2=4+3^2[/tex]
[tex]\quad c^2=13[/tex]
[tex]\quad c=\pm \sqrt{13}[/tex]
[tex]\quad \boxed{c=\sqrt{13}}[/tex], já que [tex]c \gt 0.[/tex]
Assim, o comprimento de cada escada é [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ 3,6 \, metros$} \, [/tex], aproximadamente.

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Solução 2

a) Para o comprimento das escadas, adota-se y.

b) As bases dos triângulos são x e 5-x.

c) Utilizando o Teorema de Pitágoras, tem-se que:
I) y²=3²+x²
y²=9+x²
e
II) y²=2²+(5-x)²

d) Substituindo I em II, vem:
y²=2²+(5-x)²
9+x²=4+25-10x+x²
9+x²-4-25+10x-x²=0
10x-20=0
10x=20
x=2.

e) Determinando o valor de y que corresponde ao comprimento da escada
y²=9+x²
y²=9+2²
y²=13
y=√(13)
Logo, o comprimento de cada escada é de aproximadamente 3,6 metros.

Solução elaborada pelo COM OCTETO MATEMÁTICO.

Participou da discussão o Clube OCTETO MATEMÁTICO.

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