Qual é o nome do polígono onde a soma de seus ângulos externos é o dobro da soma de seus ângulos internos?

Em um polígono, um ângulo interno é aquele formado por dois lados consecutivos: 

ou seja, o vértice de um ângulo interno coincide com o vértice do polígono. Na figura acima, temos destacado o ângulo \(A\hat{B}C\).

Já um ângulo externo é aquele se forma quando prolongamos um dos lados do polígono. Por exemplo, tomando a figura anterior, ao se prolongar o lado \(\bar{BC}\), formamos o seguinte ângulo do lado de fora:

Note que um ângulo interno junto com o seu ângulo externo são sempre suplementares, isto é, a soma de suas medidas vale 180º:

$$A\hat{B}C+A\hat{B}G=180º$$

Por exemplo, no triângulo abaixo, temos um ângulo interno de 70º:

ao se prolongarmos um dos lados desse ângulo, obtemos seu ângulo externo, cuja medida é de 110º pois, 110º+70º=180º.

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UNIDADE(S) TEMÁTICA(S):
Geometria.
OBJETOS DE CONHECIMENTO:
Construções geométricas de ângulos, polígonos e diagonais.
HABILIDADE(S):
(EF08MA15) Construir, utilizando instrumentos de desenho ou softwares de geometria dinâmica, mediatriz, 
bissetriz, ângulos de 90°, 60°, 45° e 30° e polígonos regulares.
CONTEÚDOS RELACIONADOS:
Polígonos e suas classificações, ângulos, segmentos e diagonais. 
INTERDISCIPLINARIDADE:
Relacionar os conhecimentos adquiridos com o cotidiano. 
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SECRETARIA DE ESTADO DE EDUCAÇÃO DE MINAS GERAIS
COMPONENTE CURRICULAR: MATEMÁTICA
ANO DE ESCOLARIDADE: 8º ANO
NOME DA ESCOLA:
ESTUDANTE:
TURMA:
NÚMERO DE AULAS POR SEMANA: 5
TURNO:
TOTAL DE SEMANAS: 4
NÚMERO DE AULAS POR MÊS: 20
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POLÍGONO
Polígono é uma figura geométrica plana e fechada, formada por segmentos de retas, de forma que 
cada segmento se conecta a dois outros pelos seus pontos extremos. Esses segmentos de reta con-
stituem os lados do polígono. 
Os pontos extremos dos lados do polígono são seus vértices. No polígono acima, os pontos A, B, C, D 
e E são vértices.
Polígonos podem ser classificados em convexos e não convexos. Um polígono é dito convexo quando 
todo segmento de reta, que conecta dois pontos da região interna do polígono, ficar totalmente conti-
do no interior dessa região. Caso isso não ocorra, dizemos que o polígono é não convexo.
Nosso interesse será estudar os polígonos convexos.
Podemos associar aos polígonos ângulos importantes.
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Um polígono é dito regular quando todos os seus lados forem congruentes (mesma medida) e todos os 
seus ângulos internos também forem congruentes (mesma medida).
No volume 2 do PET, trabalhamos os polígonos de 3 lados (triângulos) e 4 lados (quadriláteros). 
Se n é o número de lados do polígono, a soma S dos ângulos internos pode ser determinada pela fórmula:
S = (n — 2) × 180°
Por exemplo:
n = 3 S = (3 — 2) × 180° = 1 × 180° = 180°
n = 4 S = (4 — 2) × 180° = 2 × 180° = 360°
1 — Observe que cada um dos polígonos abaixo. Descubra o nome do polígono, o número de lados e a 
soma das medidas dos ângulos internos de cada um e registre essas informações no quadro abaixo. 
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A soma das medidas dos ângulos externos de um polígono convexo é sempre igual a 360°.
Na sequência das figuras abaixo, temos um pentágono com seus cinco ângulos externos explicitados. 
Note que, nessa sequência, o polígono é reduzido proporcionalmente em suas dimensões até se de-
generar em um ponto (chamamos esse tipo de transformação de homotetia), ao passo que, os ângulos 
externos são mantidos ao longo de todo o processo, resultando, ao final, que os ângulos externos, 
juntos, completam um círculo. Isso ilustra o fato de que a soma dos ângulos externos de um polígono 
é igual a 360°. 
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2 — Agora, complete as lacunas abaixo para que cada frase fique correta.
a) O pentágono é um polígono de lados e de ângulos internos. A soma de 
seus ângulos internos é graus e a soma de seus ângulos externos é . Se o 
pentágono for regular, cada ângulo interno mede graus e cada ângulo externo mede 
 graus.
b) O hexágono é um polígono de lados e de ângulos internos. A soma de 
seus ângulos internos é graus e a soma de seus ângulos externos é . Se o 
hexágono for regular, cada ângulo interno mede graus e cada ângulo externo mede 
 graus.
c) O heptágono é um polígono de lados e de ângulos internos. A soma de 
seus ângulos internos é graus e a soma de seus ângulos externos é . Se 
heptágono for regular, cada ângulo interno mede graus e cada ângulo externo mede 
 graus.
d) O octógono é um polígono de lados e de ângulos internos. A soma de 
seus ângulos internos é graus e a soma de seus ângulos externos é . Se o 
octógono for regular, cada ângulo interno mede graus e cada ângulo externo mede 
 graus.
e) O decágono é um polígono de lados e de ângulos internos. A soma de 
seus ângulos internos é graus e a soma de seus ângulos externos é . Se o 
decágono for regular, cada ângulo interno mede graus e cada ângulo externo mede 
 graus.
f) O dodecágono é um polígono de lados e de ângulos internos. A soma de 
seus ângulos internos é graus e a soma de seus ângulos externos é . Se 
o dodecágono for regular, cada ângulo interno mede graus e cada ângulo externo 
mede graus.
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NÚMERO DE DIAGONAIS DE UM POLÍGONO CONVEXO
A diagonal de um polígono une dois vértices por meio de um segmento 
de reta interno à figura. Então, de cada vértice de um polígono convexo 
de n lados partem (n — 3) diagonais, pois um vértice pode ser conecta-
do, por meio de uma diagonal, a todos os outros vértices, menos aos 
dois adjacentes a ele e a ele próprio. 
Como são n vértices, o total de diagonais traçadas é, portanto, n (n — 3). 
Entretanto, nessa contagem, uma mesma diagonal é contada duas 
vezes.
Portanto, o número de diagonais de um polígono convexo de n lados é
dado por n (n—3)
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 .
3 — Desenhe as diagonais nos polígonos abaixo e complete as lacunas para cada frase ficar correta. 
a) O octógono regular de lado medindo 1 cm possui perímetro 
igual a cm e diagonais. A soma de 
seus ângulos internos é o e de seus ângulos exter-
nos é o. Cada ângulo interno mede o e 
cada ângulo externo mede o.
b) O de 1,5 cm de lado possui perímetro igual a 
 cm e diagonais. A soma de seus ân-
gulos internos é o e de seus ângulos externos é 
 o. Cada ângulo interno mede o e cada 
ângulo externo mede o.
c) O triângulo de 3,7 cm de lado possui perímetro 
igual a cm e não tem diagonal. A soma de seus ân-
gulos internos é o e de seus ângulos externos 
é o. Cada ângulo interno mede o e cada 
ângulo externo mede o.
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UNIDADE(S) TEMÁTICA(S):
Geometria.
OBJETOS DE CONHECIMENTO:
Área e perímetro de figuras planas.
HABILIDADE(S):
(EF08MA19) Resolver problemas que envolvam medidas de área de figuras planas, utilizando expressões de 
cálculo de área em polígonos e círculos.
CONTEÚDOS RELACIONADOS:
Polígonos, apótema, círculos, raios, diâmetro, perímetro e área. 
INTERDISCIPLINARIDADE:
Relacionar os conhecimentos adquiridos com o cotidiano. 
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POLÍGONO REGULAR E CIRCUNFERÊNCIA
Todo polígono regular pode ser circunscrito a uma circunferência. O raio de uma circunferência inscri-
ta em um polígono regular corresponde ao apótema (a) do polígono. O apótema é o segmento de reta 
que une o centro da circunferência inscrita ao polígono regular ao ponto médio de um de seus lados, 
formando um ângulo reto (90°) com esse lado.
1 — Observe o polígono abaixo circunscrito à circunferência e complete as lacunas corretamente.
a) No pentágono regular de 2 cm de lado (perímetro igual a
 cm e diagonais) o apótema (a) é a medida 
do raio da circunferência que está inscrita no polígono e pode ser 
calculada pelos lados e ângulos do triângulo azul da figura.
 O ângulo x, interno ao triângulo, mede °. A soma dos
 ângulos internos (i) do polígono é ° e dos ângulos ex-
 ternos é °.
b) Cada ângulo interno (i) mede ° e cada ângulo externo (e) mede °. 
Observe que a hipotenusa (maior lado do triângulo retângulo azul) é a bissetriz de i. Bissetriz 
de um ângulo é uma semirreta de origem no vértice desse ângulo, que o divide em dois ângu-
los congruentes, ou seja, 54° é o valor do ângulo . 
c) A distância do centro da circunferência inscrita no polígono até um de seus pontos é o raio 
(r) dessa circunferência, que, nesse exemplo, corresponde a um valor aproximado de 1,38 cm.
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 O diâmetro é o dobro da medida do raio, sendo igual a cm. Então, a medida do 
apótema (a) do pentágono regular circunscrito à circunferência é cm.
d) Pode-se calcular o valor aproximado do perímetro do círculo (medida do comprimento da
 circunferência): 2πr = 2 · 3, 14 · 1, 38 = cm e a medida da área desse círculo: 
 πr 2 = 3, 14 · 1, 382 cm2.
ÁREA E PERÍMETRO DE POLÍGONOS CIRCUNSCRITOS
Os cálculos de medidas de área e de perímetro de figuras planas são utilizados em várias situações 
do cotidiano.

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Qual é o polígono regular cujo ângulo interno é o dobro do ângulo externo?

Qual o polígono que tem a soma dos ângulos internos igual a soma dos ângulos externos?

Qual a soma dos ângulos internos é externos de um polígono?

Qual é o nome do polígono regular em que a soma das medidas dos ângulos internos é o quádruplo da soma das medidas dos ângulos externos?