Quantos são os anagramas que podemos formar com as letras da palavra Janeiro?

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• Quantas anagramas podemos formar com a palavra Janeiro sempre com as letras consoantes juntas?
• Como calcular anagrama da palavra?
• Quantos anagramas da palavra Janeiro possui todas as vogais juntas?

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ANÁLISE 
COMBINATÓRIA
MÓDULO 6 | ANÁLISE COMBINATÓRIA
CONTAGEM
Os problemas de contagem são frequentes no nosso 
cotidiano. Estão presentes, por exemplo, quando 
pensamos nas possibilidades de combinação de 
roupas, de planejamento de pratos em cardápios ou 
de combinações de números em um jogo de loteria.
A análise combinatória é o campo de estudo que 
desenvolve métodos para fazer a contagem, de 
modo eficiente, do número de elementos de um 
conjunto. Associada à probabilidade e à estatística, a 
Análise combinatória constitui um poderoso instru-
mento de antecipação de resultados nos campos 
industrial, comercial, científico ou governamental. 
FATORIAL (!)
Muitos problemas de análise combinatória devem 
ser resolvidos com uma multiplicação de números 
naturais consecutivos, como 1 . 2 . 3 ou 5 . 4 . 3 . 2 . 1. 
Nesses exemplos, multiplicamos os números natu-
rais de 1 até n, sendo no primeiro caso n = 3 e, no 
segundo, n = 5. Em geral, produtos do tipo 1 . 2 . 3 ..... 
(n – 1) . n são escritos com a notação de fatorial (!).
Dado um número natural n (n > 1), define-se n fato-
rial ou fatorial de n (indicado por n!) como sendo 
o produto dos n números naturais consecutivos, 
escritos desde n até 1.
EXEMPLO
3! = 3 . 2 . 1 = 6
4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24
5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120
CONVENÇÃO
O fatorial de 1 é igual ao próprio 1 → 1! = 1
O fatorial de zero é igual a 1 → 0! = 1
 
ATENÇÃO!
Só existe fatorial de números inteiros positivos!
(-5)! = NÃO EXISTE -(5)! = -1(5.4.3.2.1) = -120
O cálculo de n! fica complicado a medida que o 
número n aumenta. Por isso, podemos interromper 
(truncar) a qualquer momento, desde que colocado 
o símbolo ! depois do número.
EXEMPLO
15! 15 . 14 . 13 . 12!
15 . 14 . 13 = 2730
12! 12!
(n + 1)!
(n + 1) . n
(n – 1)! (n – 1)!
(n + 1) . n . (n – 1)!
PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO
Uma pessoa quer viajar de Porto Alegre a Recife, 
passando por São Paulo. Sabendo que há 3 roteiros 
diferentes para chegar a São Paulo partindo de 
Porto Alegre e 4 roteiros diferentes para chegar a 
Recife partindo de São Paulo, de quantas maneiras 
possíveis essa pessoa poderá viajar de Recife a 
Porto Alegre? 
ANÁLISE
COMBINATÓRIA
Se um evento é composto por duas (ou mais) etapas 
sucessivas e independentes de tal maneira que o 
número de possibilidades na primeira etapa é m e 
o número de possibilidades na segunda etapa é n, 
então o número total de possibilidades de o evento 
ocorrer é dado pelo produto m . n.
PERMUTAÇÃO SIMPLES
Dado um conjunto de n elementos, chama-se permu-
tação simples dos n elementos qualquer sequência 
(agrupamento ordenado) desses n elementos, difer-
indo apenas pela ordem dos elementos. Para deter-
minar o número de permutações em um grupo com 
n elementos, basta calcular o fatorial desse n.
EXEMPLO
Gui, Bussunda e JowJow vão posar para uma 
fotografia. De quantas maneiras essa fotografia 
pode ser tirada:
P3 = 3! = 3 . 2 . 1 = 6
ANAGRAMAS
São palavras obtidas a partir de outra, quando se 
trocam as posições de suas letras, não importando 
se essas palavras tenham sentido ou não.
EXEMPLO
Quantos são os anagramas da palavra AMOR?
A M O R = 4 letras não repetidas
P4 = 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24 anagramas
PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO
Para os cálculos de permutação de n elementos, 
dos quais k são repetidos, utilizaremos a seguinte 
fórmula, onde n é o número total de elementos a ser 
permutados e n1, n2, …, nk os elementos repetidos.
ARRANJO SIMPLES
São agrupamentos em que se considera a ordem 
dos elementos, isto é, qualquer mudança na 
ordem dos elementos altera o agrupamento. Por 
exemplo, ao formar números naturais de 3 algar-
ismos distintos escolhido entre os algarismos 2, 4, 
6, 7 e 8, estaremos arranjando esses 5 algarismos 
3 a 3. Por exemplo, o número 246 é diferente de 
642. Note que os algarismos são os mesmos, mas 
diferem pela ordem.
Dado um conjunto de n elementos distintos, 
chama-se arranjo dos n elementos, tomados de 
p a p, (n ≥ p) a qualquer sequência ordenada de p 
elementos distintos escolhidos entre os n existentes.
OS ELEMENTOS DOS ARRANJOS 
DIFEREM PELA ORDEM!
Geralmente usamos arranjo nos problemas envol-
vendo senhas, formação de números, grupos de 
pessoas com cargos, placas, números de telefone.
PERMUTAÇÃO é um caso particular do arranjo, 
assim, qualquer problema que envolva permu-
tações ou arranjo simples pode ser resolvido dire-
tamente pelo princípio multiplicativo.
COMBINAÇÃO SIMPLES
São agrupamentos em que não se considera a 
ordem dos elementos, isto é, mudanças na ordem 
dos elementos não alteram o agrupamento. Por 
exemplo, ao formar conjuntos de números naturais 
de 3 algarismos distintos, escolhido entre os algar-
ismos 2, 4, 6, 7 e 8, estaremos combinando esses 5 
algarismos 3 a 3. Por exemplo, o conjunto {2, 4, 6} 
é igual ao conjunto {6, 4, 2}. Note que a ordem dos 
algarismos mudou, mas o conjunto é o mesmo, ou 
seja, os elementos não diferem pela ordem.
Pn = n!
Pn
n1,…nk n!
n1! . n2! … nk!
An,p
n!
(n – p)!
Dado um conjunto A com n elementos distintos, 
chama-se combinação dos n elementos de A, 
tomados p a p, ( n p), qualquer subconjunto de A 
formado por p elementos.
OS ELEMENTOS DAS COMBINAÇÕES 
NÃO DIFEREM PELA ORDEM!
Geralmente usamos combinação nos problemas 
envolvendo conjuntos, figuras planas, grupos de 
pessoas sem cargos, loterias.
ATENÇÃO!
Não confunda quando usar a permutação, o 
arranjo ou a combinação. Como exemplo, vamos 
considerar o conjunto das vogais {A, E, I, O, U}.
1 De quantas maneiras podemos alinhar as 
5 vogais?
A E I O U ou A I E U O ou O A I E U
Repare que estamos trabalhando com todos os 
elementos do grupo, ou seja, formando outras 
configurações a partir da troca de posição dos 
elementos. Nesse caso usamos a PERMUTAÇÃO.
2 Quantos subconjuntos de 3 vogais distintas 
podemos formar?
{A, E, I} ou {A, I, E} ou {I, E, A}
Repare que estamos escolhendo apenas uma 
parte do grupo de vogais para formar subcon-
juntos com 3 vogais distintas e, quando permu-
tados dentro do agrupamento, NÃO forma uma 
nova configuração, ou seja, os agrupamentos 
NÃO DIFEREM pela ordem dos elementos no 
grupo. Nesse caso, usamos a COMBINAÇÃO.
3 Quantos anagramas de 3 vogais distintas 
podemos formar?
AEI ou AIE ou IEA
Repare que estamos escolhendo apenas uma 
parte do grupo de vogais para formar anagramas 
com 3 vogais distintas e, quando permutadas 
dentro do agrupamento, FORMA uma nova 
configuração, ou seja, os agrupamentos DIFEREM 
pela ordem dos elementos no grupo. Nesse caso, 
usamos o ARRANJO.
Cn,p
n!
(n – p)! . p!
1. (UCPEL) Alterando-se as posições das letras 
da palavra JANEIRO, o número de permutações 
obtidas, nas quais as vogais aparecem sempre juntas 
é:
a) 5040
b) 576
c) 288
d) 144
e) 24
2. (UNESP) Quatro amigos, Pedro, Luísa, João e Rita, 
vão ao cinema, sentando-se em lugares consecu-
tivos na mesma fila. O número de maneiras que os 
quatro podem ficar dispostos de forma que Pedro 
e Luísa fiquem sempre juntos e João e Rita fiquem 
sempre juntos é
a) 2
b) 4
c) 8
d) 16
e) 24
3. (FURG/2008) Manoela decidiu escolher uma 
senha para seu e-mail trocando de lugar as letras 
do seu nome. O número de maneiras como ela pode 
fazer isso, considerando que a senha escolhida deve 
ser diferente do próprio nome, e
a) 817.
b) 48.
c) 5039.
d) 23.
e) 2519.
4. (UFG/2010) Num episódio de uma série policial 
de televisão, um agente secreto encontra-se diante 
do desafio de descobrir a senha de quatro dígitos 
digitada no teclado numérico, instalado na porta 
de entrada de um laboratório. Para isso, o agente 
utiliza o seguinte artifício: borrifa um spray sobre o

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Quantas anagramas podemos formar com a palavra Janeiro sempre com as letras consoantes juntas?

Como calcular anagrama da palavra?

Quantos anagramas da palavra Janeiro possui todas as vogais juntas?